1977-福建文-03 解-农机厂增长率

本题导读

本题考查增长率与等比数列。核心在于由后两月产量列方程求增长率，再用等比数列求和反推原计划年产量。

📌【题干】

Question

（1977年福建卷(文)） 某农机厂开展”工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机 $1000$ 台.这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务.工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产 $2310$ 台. (1)求十一月、十二月份每月增长率；

(2)原计划年产拖拉机多少台？

🔍【思路分析】

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(1)设每月增长率为 $x$，$1000(1+x)+1000(1+x{)}^2=2310$，换元解二次方程；(2)十月产量 $1000$ 台为末项，公比 $\frac{10}{11}$ 反推前十项和。

✅【答案】

Success

(1)每月增长率为 $10\%$(2)原计划年产拖拉机约 $6759$ 台

✍【详细解析】

Abstract

(1)设每月增长率为 $x$，则十一月份和十二月份的产量分别为 $1000(1+x)$ 台和 $1000(1+x{)}^2$ 台。由计划在年底前再生产 $2310$ 台，得 $1000(1+x)+1000(1+x{)}^2=2310$。令 $u=1+x$，则 $u>0$，且 $u+u^2=2.31$，即 $u^2+u-2.31=0$，$(u-1.1)(u+2.1)=0$。因为 $u>0$，所以 $u=1.1$，从而 $x=0.1=10\%$。 (2)设一月至十二月每月产量按同一增长率递增，记第 $n$ 月产量为 $a_n$。由 $a_{10}=1000$ 台及公比 $1+x=1.1=\frac{11}{10}$，可知一月至十月的产量依次为 $1000{\left(\frac{10}{11}\right)}^9,1000{\left(\frac{10}{11}\right)}^8,\cdots ,1000\cdot \frac{10}{11},1000$。因而原计划年产量（一月至十月的产量之和）为 $S_{10}=1000{\sum }_{k=0}^9{\left(\frac{10}{11}\right)}^k=1000\cdot \frac{1-{\left(\frac{10}{11}\right)}^{10}}{1-\frac{10}{11}}=11000\left[1-{\left(\frac{10}{11}\right)}^{10}\right]\approx 6759$ 台。所以原计划年产拖拉机约为 $6759$ 台。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：农机厂增长率

核心方法：设增长率列方程

避坑指南：$1000(1+x)+1000(1+x{)}^2=2310$；反推原计划用等比求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：增长率

结论推广：$x=10\%$；约 $6759$ 台

方法推广：等比反推

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-17 解-增长率的应用题
• 1977-内蒙古文-04 解-增长率应用题