1995-全国卷理-24 解-市场平衡价格的实际应用

本题导读

本题考查函数的应用（数学模型）、无理方程的解法。核心在于换元法（整体代换）、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为 $x$ 元/千克，政府补贴为 $t$ 元/千克.根据市场调查，当 $8\le x\le 14$ 时，淡水鱼的市场日供应量 $P$ 千克与市场日需求量 $Q$ 千克近似满足关系：$P=1000(x+t-8)(x\ge 8,t\ge 0)$，$Q=500\sqrt{40-(x-8{)}^2}(8\le x\le 14)$.当 $P=Q$ 时市场价格称为市场平衡价格.

(1) 将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；

(2) 为使市场平衡价格不高卷每千克 10 元，政府补贴至少为每千克多少元？

🔍【思路分析】

破题导航

第一问求解逻辑：

• 根据定义，令 $P=Q$，建立关于 $x,t$ 的无理方程：$1000(x+t-8)=500\sqrt{40-(x-8{)}^2}$。
• 观察到式中多次出现 $x-8$，可采用换元法，设 $u=x-8$。由 $8\le x\le 14$ 可知 $0\le u\le 6$。
• 将原方程化为关于 $u$ 和 $t$ 的方程，解出 $t$ 关于 $u$ 的表达式。再由于题目要求将平衡价格 $x$ 表示为 $t$ 的函数，需反解出 $u$ 关于 $t$ 的表达式，进而得到 $x=f(t)$。
• 利用 $u$ 的取值范围 $0\le u\le 6$，结合单调性或不等式性质，求出自变量 $t$ 的取值范围，即为函数的定义域。

第二问求解逻辑：

• 题目要求市场平衡价格不高水平 10 元，即 $x\le 10$。
• 结合第一问的换元 $u=x-8$，该条件等价于 $u=x-8\le 10-8=2$。
• 利用第一问中推导出的 $t$ 与 $u$ 的对应关系，结合其在区间上的单调性，求出 $t$ 的最小值。

✅【答案】

Success

(1) $x=8-\frac{4}{5}t+\frac{2}{5}\sqrt{50-t^2}$，$0\le t\le \sqrt{10}$

(2) 政府补贴至少为每千克 $1$ 元

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求解市场平衡价格 $x$ 与政府补贴 $t$ 的函数关系及定义域：

由题意，市场平衡时 $P=Q$，即： $1000(x+t-8)=500\sqrt{40-(x-8{)}^2}$

两边同时除以 500，得： $2(x-8+t)=\sqrt{40-(x-8{)}^2}\text{(1)}$

为简化计算，令 $u=x-8$。 因为 $8\le x\le 14$，所以 $0\le u\le 6$。

将 $u$ 代入①式得： $2(u+t)=\sqrt{40-u^2}$

两边平方得： $4(u+t{)}^2=40-u^2⟹(u+t{)}^2=\frac{40-u^2}{4}$ 因为 $u\ge 0,t\ge 0$，所以 $u+t\ge 0$，开方取正根： $u+t=\frac{\sqrt{40-u^2}}{2}⟹t=\frac{\sqrt{40-u^2}}{2}-u\text{(2)}$

根据题意，需要将平衡价格 $x$（即 $u+8$）表示为 $t$ 的函数，需从上式中解出 $u$。 回到方程：$2u+2t=\sqrt{40-u^2}$ 两边平方展开： $4u^2+8tu+4t^2=40-u^2$ $5u^2+8tu+4t^2-40=0$

视其为关于 $u$ 的一元二次方程，利用求根公式： $\Delta =(8t{)}^2-4\times 5\times (4t^2-40)=64t^2-80t^2+800=800-16t^2$ 解得： $u=\frac{-8t\pm \sqrt{800-16t^2}}{2\times 5}=\frac{-8t\pm 4\sqrt{50-t^2}}{10}=\frac{-4t\pm 2\sqrt{50-t^2}}{5}$

因为 $u\ge 0$ 且 $t\ge 0$，若取负号，则 $u<0$ 不合题意，故只能取正号： $u=\frac{2\sqrt{50-t^2}-4t}{5}$ 因为 $x=u+8$，所以市场平衡价格表示为政府补贴 $t$ 的函数为： $x=\frac{2\sqrt{50-t^2}-4t}{5}+8$

求函数的定义域： 定义域即为补贴 $t$ 的取值范围，它由 $u$ 的范围 $0\le u\le 6$ 决定。 利用②式 $t=g(u)=\frac{\sqrt{40-u^2}}{2}-u$，在 $u\in [0,6]$ 上，$\sqrt{40-u^2}$ 单调递减，$-u$ 单调递减，故 $t$ 是关于 $u$ 的严格单调递减函数。

• 当 $u=0$ 时，$t$ 取得最大值： $t_{\text{max}}=\frac{\sqrt{40-0^2}}{2}-0=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$
• 当 $u=6$ 时，$t$ 取得最小值： $t_{\text{min}}=\frac{\sqrt{40-6^2}}{2}-6=\frac{\sqrt{4}}{2}-6=1-6=-5$ 由于题目要求 $t\ge 0$，故最小边界收缩至 $t=0$。

因此，政府补贴 $t$ 的取值范围为 $0\le t\le \sqrt{10}$。 即所求函数的定义域为 $[0,\sqrt{10}]$。

(2) 求解使平衡价格不高卷 10 元时的政府补贴最小值：

要求市场平衡价格不高卷每千克 10 元，即： $x\le 10$ 因为 $u=x-8$，所以等价于： $u\le 10-8=2$

因为在区间 $u\in [0,6]$ 上，$t=\frac{\sqrt{40-u^2}}{2}-u$ 是关于 $u$ 的单调递减函数， 所以要满足 $0\le u\le 2$，对应的 $t$ 值应大于或等于 $u=2$ 时的值。

将 $u=2$ 代入②式中： $t_{\text{min}}=\frac{\sqrt{40-2^2}}{2}-2=\frac{\sqrt{36}}{2}-2=\frac{6}{2}-2=3-2=1$

所以，当 $t\ge 1$ 时，能确保 $u\le 2$ 从而 $x\le 10$。

答： 政府补贴至少为每千克 1 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：实际应用题的建模、无理方程的双向反解、利用复合函数的单调性确定定义域与最值。 核心方法：“整体换元法”。本题若直接带入 $x$ 强行全展展开，计算量极高。通过设 $u=x-8$，使无理数内部及外部结构高度归一化，极大降低了求根公式的运算复杂度。 避坑指南：

• 第一问中求“函数的定义域”极易错填为 $[0,6]$ 或错求为使根号有意义的 $50-t^2\ge 0⟹[0,5\sqrt{2}]$。必须牢记：这里的函数是 $x=f(t)$，自变量是 $t$，其定义域受制于实际自变量 $x$ 的边界范围（$8\le x\le 14$），需要通过 $t=g(u)$ 的值域逆向转化过来。
• 在使用求根公式时，忽略 $t\ge 0,u\ge 0$ 的实际意义会导致无法准确舍弃负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于典型的微观经济学“供求平衡模型”的数学简化版本。商品价格由供需曲线的交点（$P=Q$）决定，政府补贴 $t$ 作为外部干预变量，改变了供应曲线的相对位置，是现代高考应用题（如方案决策、最值优化）的开山鼻祖型考题。 结论推广： 若供应曲线为直线 $P=k_1(x+t-a)$，需求曲线为半圆弧 $Q=k_2\sqrt{A-(x-a{)}^2}$，在平衡状态下，通过引入无量纲元 $u=x-a$，可将供需平衡方程统一归纳为二次型结构： $(k_1^2+k_2^2)u^2+2k_1^{2}tu+k_1^2(t^2-A)=0$ 该推广公式揭示了在政府财政干预（补贴或课税）下，市场自由竞争平衡点的漂移轨迹。在处理同类经济学数学应用大题时，该模型可用于快速验算核心代数式的正确性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-24 解-增长率的实际应用题
• 1997-全国卷文-22 解-运输成本的最值
• 1997-上海文-18 解-抛物线的实际应用