1992-全国文-17 单-二次函数的对称性

本题导读

本题考查二次函数的对称性，以及函数值大小的比较。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 如果函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 对任意实数 $t$ 都有 $f(2+t)=f(2-t)$，那么 ()

A. $f(2)<f(1)<f(4)$　　　　　　　　　　　B. $f(1)<f(2)<f(4)$

C. $f(2)<f(4)<f(1)$　　　　　　　　　　　D. $f(4)<f(2)<f(1)$

🔍【思路分析】

破题导航

对称轴 $x=2$，开口向上，离轴越远值越大：$|2-2|=0$、$|1-2|=1$、$|4-2|=2$，故 $f(2)<f(1)<f(4)$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$f(2+t)=f(2-t)$ 说明 $f$ 关于直线 $x=2$ 对称。抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大。$2,1,4$ 到轴 $x=2$ 的距离分别为 $0,1,2$，故 $f(2)<f(1)<f(4)$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数的对称性

核心方法：$f(2+t)=f(2-t)$ 对称轴 $x=2$，开口向上，$f(2)<f(1)<f(4)$

避坑指南：离对称轴越远函数值越大

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于二次函数对称性

结论推广：对称轴两侧离轴越远值越大

方法推广：开口向上时

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1993-上海-01 填-二次函数的最小值
• 1997-全国卷文-10 单-余弦的二次函数最值
• 1994-上海理-09 填-二次函数的最值（仓库容积）