1986-全国理-19 解-三角形中的最值

本题导读

本题考查三角函数的两角差公式、基本不等式（均值不等式）。核心在于坐标代数法（三角函数转化）、几何圆心法（切圆性质）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 如图，在平面直角坐标系中，在 $y$ 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点 $A$、 $B$ 试在 $x$ 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点 $C$，使 $\angle ACB$ 取得最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

• 方法一（解析代数法——正切两角差）：
  1. 设 $A(0,a)$， $B(0,b)$，其中 $a>b>0$ 恒为定值。
  2. 设所求点 $C$ 的横坐标为 $x$，则 $C(x,0)$，其中 $x>0$。
  3. 引入辅助角 $\alpha =\angle AOC$， $\beta =\angle BOC$，则目标视角 $\angle ACB=\alpha -\beta$。
  4. 利用直角三角形边角关系写出 $\tan \alpha$ 与 $\tan \beta$ 的含 $x$ 表达式，展开两角差正切公式 $\tan \angle ACB=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$。
  5. 因为视角 $\angle ACB$ 为锐角，所以当且仅当正切值最大时，角度取得最大值。利用基本不等式求解分式最值。
• 方法二（几何法——米勒定理）：
  1. 根据“同弧所对圆周角相等，圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角”的空间结构性质。
  2. 通过 $A,B$ 两点的圆族中，当且仅当该圆与 $x$ 轴正半轴相切时，切点 $C$ 对应的圆周角 $\angle ACB$ 达到局部和全局的最大值。
  3. 利用切割线定理 $O{C}^2=OA\cdot OB$ 直接反解出点 $C$ 的坐标。

✅【答案】

Success

$C(\sqrt{ab},0)$

✍【详细解析】

Abstract

解法一（解析法） 设 $A(0,a)$、$B(0,b)$，其中 $a>b>0$；设 $C(x,0)$，$x>0$。 连结 $AC$、$BC$，令 $\angle AOC=\alpha$、$\angle BOC=\beta$，则 $\angle ACB=\alpha -\beta$。 在 $\mathrm{Rt}△AOC$、$\mathrm{Rt}△BOC$ 中，$\tan \alpha =\frac{a}{x}$、$\tan \beta =\frac{b}{x}$。 因为 $\alpha >\beta$ 且都落在 $(0,\frac{\pi }{2})$，$\angle ACB=\alpha -\beta$ 为锐角，故其最大等价于正切值最大。 由两角差正切公式： $\tan \angle ACB=\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }=\frac{\frac{a}{x}-\frac{b}{x}}{1+\frac{ab}{x^2}}=\frac{a-b}{x+\frac{ab}{x}}$。 因 $a-b>0$ 为定值，要使分式最大，只需分母 $x+\frac{ab}{x}$ 最小。 由基本不等式，$x>0$ 时 $x+\frac{ab}{x}\ge 2\sqrt{ab}$，当且仅当 $x=\frac{ab}{x}$，即 $x=\sqrt{ab}$ 时取等号。 故当 $C(\sqrt{ab},0)$ 时 $\angle ACB$ 取得最大值。

解法二（几何法） 过 $A$、$B$ 作圆与 $x$ 轴正半轴相切，设切点为 $C$。由切割线定理，$O{C}^2=OA\cdot OB$，即 $x^2=ab$，故 $x=\sqrt{ab}$。 对 $x$ 轴正半轴上异于 $C$ 的任一点 $C^{\prime }$，$C^{\prime }$ 在圆外，由圆周角定理，圆外角小于圆周角，故 $\angle A{C}^{\prime }B<\angle ACB$。 因此 $C(\sqrt{ab},0)$ 是使 $\angle ACB$ 最大的点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 正切单调性：$\angle ACB$ 为锐角时，「角度最大」等价于「正切值最大」，这是解析法的基础。
• 分母最值：$\tan \angle ACB=\frac{a-b}{x+\frac{ab}{x}}$，分子为常数，只需对分母 $x+\frac{ab}{x}$ 用基本不等式求最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是经典的「米勒最大视角问题」，由德国数学家雷吉奥蒙塔努斯于 1471 年提出。

2. 结论推广：对 $y$ 轴正半轴上两点 $A(0,a)$、$B(0,b)$，使 $\angle ACB$ 最大的点 $C$ 满足 $OC=\sqrt{OA\cdot OB}=\sqrt{ab}$。

3. 方法推广：视角最值问题既可用解析法（正切两角差 + 基本不等式），也可用几何法（米勒定理 + 切割线定理）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-06 单-直角三角形中正弦乘积的最值
• 1993-旧高考理-06 单-直角三角形中正弦乘积的最值
• 1986-上海文-32 解-三角式的最值