1993-新高考理-12 单-圆柱体积的最值

本题导读

本题考查柱体的体积公式，以及空间几何体的结构特征（圆柱轴截面）。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 圆柱轴截面的周长 $l$ 为定值，那么圆柱体积的最大值是 ()

A. ${\left(\frac{l}{6}\right)}^3\pi$　　　　B. $\frac{1}{9}{\left(\frac{l}{2}\right)}^3\pi$　　　　C. ${\left(\frac{l}{4}\right)}^3\pi$　　　　D. $2{\left(\frac{l}{4}\right)}^3\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步： 设圆柱底面半径为 $r$，高为 $h$。根据圆柱轴截面为长方形（宽为 $2r$，高为 $h$），由周长为 $l$ 建立等式 $4r+2h=l$，从而用含 $r$ 和 $l$ 的代数式表示出高 $h=\frac{l-4r}{2}$。
2. 第二步： 将 $h$ 代入圆柱体积公式 $V=\pi r^{2}h$，构建关于 $r$ 的一元三次函数 $V(r)$。通过基本不等式凑配系数或对函数求导，求出使体积取得最大值时的 $r$ 值，最终计算出最大体积。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：导数法（通用且不易错） 设圆柱底面半径为 $r\left(0<r<\frac{l}{4}\right)$，高为 $h$。 圆柱的轴截面是一个长为 $2r$，宽为 $h$ 的矩形，其周长为 $l$，则： $2(2r+h)=l⟹4r+2h=l⟹h=\frac{l-4r}{2}=\frac{l}{2}-2r$ 将 $h$ 代入圆柱体积公式中： $V=\pi r^{2}h=\pi r^2\left(\frac{l}{2}-2r\right)=\frac{\pi l}{2}{r}^2-2\pi r^3$ 对 $V$ 关于 $r$ 求导： $V^{\prime }(r)=\pi lr-6\pi r^2=\pi r(l-6r)$ 令 $V^{\prime }(r)=0$，由于 $r>0$，解得唯一驻点： $r=\frac{l}{6}$ 当 $0<r<\frac{l}{6}$ 时，$V^{\prime }(r)>0$；当 $\frac{l}{6}<r<\frac{l}{4}$ 时，$V^{\prime }(r)<0$。 因此，当 $r=\frac{l}{6}$ 时，圆柱体积 $V$ 取得最大值： $V_{\text{max}}=\pi {\left(\frac{l}{6}\right)}^2\left(\frac{l}{2}-2\times \frac{l}{6}\right)=\pi \cdot \frac{l^2}{36}\cdot \left(\frac{l}{2}-\frac{l}{3}\right)=\pi \cdot \frac{l^2}{36}\cdot \frac{l}{6}={\left(\frac{l}{6}\right)}^3\pi$ 故正确答案为：A

方法二：基本不等式法（需要凑配技巧） 由方法一可知体积表达式为 $V=\pi r^2\left(\frac{l}{2}-2r\right)=\frac{1}{2}\pi \cdot (2r)\cdot (2r)\cdot \left(\frac{l}{2}-2r\right)$。 为了利用均值不等式 ${\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^3\ge abc$ 消除变量 $r$，需保证各项相加后 $r$ 的系数为0。 观察发现：$(2r)+(2r)+\left(\frac{l}{2}-2r\right)=2r+\frac{l}{2}$，无法消去 $r$。 重新凑配系数，将 $\frac{l}{2}-2r$ 乘以 2，变形为 $l-4r$： $V=\frac{1}{4}\pi \cdot (2r)\cdot (2r)\cdot (l-4r)$ 此时三个因式相加：$(2r)+(2r)+(l-4r)=l$（为定值）。 根据均值不等式： $V=\frac{1}{4}\pi \cdot (2r)\cdot (2r)\cdot (l-4r)\le \frac{1}{4}\pi {\left[\frac{2r+2r+(l-4r)}{3}\right]}^3=\frac{1}{4}\pi {\left(\frac{l}{3}\right)}^3=\frac{1}{108}{l}^3\pi$ 将选项 A 进行化简验证：${\left(\frac{l}{6}\right)}^3\pi =\frac{l^3}{216}\pi$，与上方计算不符。

修正凑配（重新检查体积变形）： 原式 $V=\pi r\cdot r\cdot \left(\frac{l}{2}-2r\right)$。 欲使 $r+r+k\left(\frac{l}{2}-2r\right)$ 中 $r$ 抵消，需满足 $1+1-2k=0⟹k=1$。 直接相加即可：$r+r+\left(\frac{l}{2}-2r\right)=\frac{l}{2}$。 应用三项的均值不等式： $V=\pi \left[r\cdot r\cdot \left(\frac{l}{2}-2r\right)\right]\le \pi {\left[\frac{r+r+\left(\frac{l}{2}-2r\right)}{3}\right]}^3=\pi {\left(\frac{\frac{l}{2}}{3}\right)}^3=\pi {\left(\frac{l}{6}\right)}^3$ 当且仅当 $r=\frac{l}{2}-2r⟹3r=\frac{l}{2}⟹r=\frac{l}{6}$ 时，等号成立。 故正确答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 圆柱的高与底面半径在轴截面（过轴的平面截几何体所得的图形）中的几何关系；一元高次函数的最值求解。
2. 核心方法： 建立目标函数后，优先采用导数法求最值。相比基本不等式精巧的凑项技巧，导数法机械化程度高，不易因系数凑错而导致失误。
3. 避坑指南： - 错误理解“轴截面”，误以为周长 $l=2r+h$ 或 $l=2\pi r+h$，导致初始列式错误。
   • 在使用均值不等式时，必须严格校验“一正、二定、三相等”的条件，特别是各项系数的调整。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于典型的空间几何体体积最值优化模型。类似的问题还有“用定长的铁丝围成面积最大的矩形（正方形）”、“表面积定值的圆柱体积最大问题”等，均属于运筹优化数学模型的初级体现。
2. 结论推广（类似最值结论）： - 周长为定值 $l$ 的矩形，当边长相等（正方形）时面积最大。
   • 轴截面周长为定值 $l$ 的圆柱，当其高等于底面直径（即 $h=2r=\frac{l}{4}$ 时面积最大？不，体积最大时为 $h=2r=\frac{l}{3}$。本题中 $r=\frac{l}{6}⟹2r=\frac{l}{3}$，此时 $h=\frac{l}{2}-2\left(\frac{l}{6}\right)=\frac{l}{3}$）。
   • 重要结论： 轴截面周长固定的圆柱，当且仅当**高等于底面直径（ $h=2r$ ）**时，其体积取得最大值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省
• 1986-广东理-10 单-均值不等式求最值
• 1986-全国理-19 解-三角形中的最值