1986-上海文-32 解-三角式的最值

本题导读

本题考查三角函数式的最值，核心在于化为关于 $\sin 2\theta$ 的单变量函数。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(文)） 设 $y=\frac{1-\sin \theta \cos \theta }{1+\sin \theta \cos \theta }$，当 $\theta \in [0,\pi ]$ 上分别取何值时，$y$ 取得最大值和最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

$\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$，化为 $y=\frac{2-\sin 2\theta }{2+\sin 2\theta }$。

✅【答案】

Success

$\theta =\frac{3\pi }{4}$ 时取最大值 $3$；$\theta =\frac{\pi }{4}$ 时取最小值 $\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

$\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$，故 $y=\frac{1-\frac{1}{2}\sin 2\theta }{1+\frac{1}{2}\sin 2\theta }=\frac{2-\sin 2\theta }{2+\sin 2\theta }$。设 $t=\sin 2\theta$，$t\in [-1,1]$（$\theta \in [0,\pi ]$），$y=\frac{2-t}{2+t}$，其对 $t$ 单调递减。故 $t=-1$ 时 $y$ 最大 $=\frac{2+1}{2-1}=3$，此时 $\sin 2\theta =-1$，$\theta =\frac{3\pi }{4}$；$t=1$ 时 $y$ 最小 $=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}$，此时 $\sin 2\theta =1$，$\theta =\frac{\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角式的最值

核心方法：$y=\frac{2-\sin 2\theta }{2+\sin 2\theta }$，$\sin 2\theta \in [-1,1]$。

避坑指南：$\theta =\frac{3\pi }{4}$ 最大 $3$，$\theta =\frac{\pi }{4}$ 最小 $\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角最值。

结论推广：化 $\sin 2\theta$ 的单变量。

方法推广：注意 $\theta$ 范围给最值点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东理-03 单-三角函数的最值
• 1990-全国文-08 单-三角函数的值域