1990-全国文-08 单-三角函数的值域

本题导读

本题考查由三角函数符号构成的分段函数的值域，需分象限讨论。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） 函数 $y=\frac{\sin x}{|\sin x|}+\frac{|\cos x|}{\cos x}+\frac{\tan x}{|\tan x|}+\frac{|\cot x|}{\cot x}$ 的值域是 ()

A. $\{-2,4\}$　　　　　　B. $\{-2,0,4\}$　　　　　　C. $\{-2,0,2,4\}$　　　　　　D. $\{-4,-2,0,4\}$

🔍【思路分析】

破题导航

按四个象限分类，确定每项为 +1 或 −1 后求和。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{\sin x}{|\sin x|}$、$\frac{\cos x}{|\cos x|}$ 等每项为 $\pm 1$。第一象限：$1+1+1+1=4$；第二象限：$1-1-1-1=-2$；第三象限：$-1-1+1+1=0$；第四象限：$-1+1-1-1=-2$。故值域 $\{-2,0,4\}$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的值域

核心方法：分象限讨论各三角函数值的符号，确定函数值域。

避坑指南：分类讨论值域

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数值域需分象限讨论符号。

结论推广：sin/|sin| 等于 ±1。

方法推广：逐象限讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-上海-18 单-反三角函数的值域
• 1991-三南-24 填-二次函数的值域整数
• 1993-旧高考文-08 单-函数奇偶性的传递判定