1992-上海-18 单-反三角函数的值域

本题导读

本题考查反三角函数的值域，以及反余弦函数的值域与定义域的对应。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） 函数 $y=\arccos \frac{1}{\sqrt{x}}(x>0)$ 的值域是()

A. $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$　　B. $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$

C. $[0,\pi )$　　D. $(0,\pi ]$

🔍【思路分析】

破题导航

$x>0$ 时 $\frac{1}{\sqrt{x}}>0$，结合 $\arccos$ 值域。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

当 $x>0$ 时，$\frac{1}{\sqrt{x}}>0$，且随 $x\to +\infty$ 趋近 $0$，随 $x\to 0^{+}$ 趋近 $+\infty$，但 $\arccos$ 定义域为 $[-1,1]$，故 $\frac{1}{\sqrt{x}}\in (0,1]$。此时 $\arccos \frac{1}{\sqrt{x}}\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反三角函数的值域

核心方法：$x>0$，$\frac{1}{\sqrt{x}}>0$，$\arccos$ 值域 $[0,\frac{\pi }{2})$

避坑指南：反余弦值域

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反三角函数的值域

结论推广：$\arccos$ 值域 $[0,\pi ]$，结合定义域

方法推广：值域分析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1992-三南-03 单-反三角函数的求值
• 1993-新高考文-18 填-反三角函数的和角求值
• 1993-上海-05 填-反余弦函数的反函数