1993-旧高考文-08 单-函数奇偶性的传递判定

本题导读

本题考查函数奇偶性的传递判定，以及由积函数的奇偶性反推因子。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） $F(x)=\left(1+\frac{2}{2^x-1}\right)f(x)$（$x\ne 0$）是偶函数，且 $f(x)$ 不恒等于零，则 $f(x)$ ()

A. 是奇函数　　　　　　　　　　　　B. 是偶函数

C. 可能是奇函数也可能是偶函数　　　D. 不是奇函数也不是偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

先证 $g(x)=1+\frac{2}{2^x-1}$ 为奇函数，再由 $F=g\cdot f$ 偶推出 $f$ 奇。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

令 $g(x)=1+\frac{2}{2^x-1}=\frac{2^x+1}{2^x-1}$，则 $g(-x)=\frac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}=-g(x)$，$g$ 为奇函数且 $g\ne 0$。由 $F(x)=g(x)f(x)$ 为偶函数得 $g(x)f(x)=g(-x)f(-x)=-g(x)f(-x)$，约去 $g(x)$ 得 $f(x)=-f(-x)$，即 $f$ 为奇函数，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数奇偶性的传递判定

核心方法：$g(x)=1+\frac{2}{2^x-1}$ 是奇函数且 $g\not\equiv 0$，$F=g\cdot f$ 为偶函数推出 $f$ 为奇函数

避坑指南：积的奇偶性传递：偶×奇=偶，由 $g\ne 0$ 可约去

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数奇偶性定义

结论推广：$g$ 奇 $f$ 奇则 $gf$ 偶；$gf$ 偶且 $g$ 非零奇则 $f$ 必奇

方法推广：由复合运算的奇偶传递反推因子奇偶性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-15 单-奇函数偶函数的分解
• 1996-全国卷文-15 单-奇函数的周期求值
• 1999-全国卷文-05 单-奇函数与周期的判定