1991-全国卷理-24 解-函数单调性的证明

本题导读

本题考查函数单调性的定义、立方差公式。核心在于定义法（作差法）、因式分解法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 根据函数单调性的定义，证明函数 $f(x)=-x^3+1$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上是减函数.

🔍【思路分析】

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1. 取值与作差：在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 内任取两个自变量 $x_1,x_2$，且设 $x_1<x_2$。作差 $f(x_1)-f(x_2)$。
2. 因式变形：将函数解析式代入后化简，提取负号构造出立方差结构 $x_2^3-x_1^3$，利用立方差公式 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ 进行因式分解。
3. 符号判定：根据 $x_1<x_2$ 判定各项因式的正负符号。其中二次多项式部分通过配方法证明其恒大于 0。
4. 下结论：若 $f(x_1)-f(x_2)>0$，则为减函数。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

证明： 设 $x_1,x_2$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的任意两个实数，且 $x_1<x_2$。

作差得： $f(x_1)-f(x_2)=(-x_1^3+1)-(-x_2^3+1)$ $f(x_1)-f(x_2)=x_2^3-x_1^3$

利用立方差公式进行因式分解： $f(x_1)-f(x_2)=(x_2-x_1)(x_2^2+x_2{x}_1+x_1^2)$

对二次多项式部分进行配方变形： $x_2^2+x_2{x}_1+x_1^2={\left(x_2+\frac{1}{2}{x}_1\right)}^2+\frac{3}{4}{x}_1^2$

因为 $x_1<x_2$，所以： $x_2-x_1>0$

又因为 $x_1,x_2$ 不同时为 0（由 $x_1<x_2$ 可知），完全平方式 ${\left(x_2+\frac{1}{2}{x}_1\right)}^2\ge 0$ 且 $\frac{3}{4}{x}_1^2\ge 0$，两项不可能同时为 0， 所以： ${\left(x_2+\frac{1}{2}{x}_1\right)}^2+\frac{3}{4}{x}_1^2>0⟹x_2^2+x_2{x}_1+x_1^2>0$

由此可得两个正数相乘： $(x_2-x_1)(x_2^2+x_2{x}_1+x_1^2)>0$

即： $f(x_1)-f(x_2)>0⟹f(x_1)>f(x_2)$

根据函数单调性的定义，函数 $f(x)=-x^3+1$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上是减函数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：使用定义法（作差法）证明函数单调性。
2. 核心方法：因式分解与配方定号。
3. 避坑指南：
   • 题目明确要求根据函数单调性的定义证明，必须严格使用作差法。直接使用导数法（求导得 $f^{\prime }(x)=-3x^2\le 0$）属于不合题意，在高考阅卷中即使答案正确也会被扣除绝大部分分数。
   • 判定因式 $x_2^2+x_2{x}_1+x_1^2$ 的符号时，不能主观臆断其大于 0，必须写出配方过程（或通过判别式 $\Delta =x_1^2-4x_1^2=-3x_1^2<0$ 分析）进行严谨论证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于函数单调性板块的经典必考基础题。直接取材于高一数学必修教材中“函数的单调性”一节的课后闭卷证明例题，考查逻辑推理与代数变形的严谨性。
2. 结论推广：一般地，对于幂函数 $f(x)=x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，通过图象变换（关于 $x$ 轴对称再向上平移 1 个单位）可得到 $f(x)=-x^3+1$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减。定义法中关于 $x_2^2+x_2{x}_1+x_1^2>0$ 的配方证明，是处理所有三次幂单调性证明问题的核心通用步骤。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1992-上海-12 单-函数的单调性
• 1993-旧高考文-08 单-函数奇偶性的传递判定
• 1999-全国卷文-05 单-奇函数与周期的判定