1991-全国文-14 单-奇函数的单调性

本题导读

本题考查奇函数的单调性，以及奇函数在对称区间上单调性的对应。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 如果奇函数 $f(x)$ 在区间 $[3,7]$ 上是增函数且最小值为 $5$，那么 $f(x)$ 在区间 $[-7,-3]$ 上是()

A. 增函数且最小值为 $-5$　　　　　　　　　　B. 增函数且最大值为 $-5$

C. 减函数且最小值为 $-5$　　　　　　　　　　D. 减函数且最大值为 $-5$

🔍【思路分析】

破题导航

奇函数关于原点对称，对称区间单调性相同，最值取相反数且性质对调。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$f$ 在 $[3,7]$ 上递增且最小值为 $5$，故 $f(3)=5$。当 $x$ 从 $-7$ 增到 $-3$ 时，$-x$ 从 $7$ 减到 $3$，由奇函数 $f(x)=-f(-x)$ 知 $f$ 在 $[-7,-3]$ 上递增；且 $f(-3)=-f(3)=-5$，为最大值。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数的单调性

核心方法：奇函数关于原点对称，$[3,7]$ 递增最小值 5 $\Rightarrow$ $[-7,-3]$ 递增最大值 $-5$

避坑指南：奇函数对称性

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数的单调性

结论推广：奇函数关于原点对称

方法推广：对称区间单调性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-05 单-奇函数与周期的判定
• 1996-全国卷文-15 单-奇函数的周期求值
• 1993-旧高考文-08 单-函数奇偶性的传递判定