1989-全国卷理-24 解-周期函数与根分布

本题导读

本题考查函数的周期性与区间平移、二次方程根的分布。核心在于变量代换法、数形结合法 / 判别式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 设 $f(x)$ 是定义在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上以 2 为周期的函数，对 $k\in \mathbf{Z}$，用 $I_k$ 表示区间 $(2k-1,2k+1]$，已知当 $x\in I_0$ 时，$f(x)=x^2$.

(1) 求 $f(x)$ 在 $I_k$ 上的解析表达式；

(2) 对自然数 $k$，求集合 $M_k=\{a\mid \text{使方程 }f(x)=ax\text{ 在 }{I}_k\text{ 上有两个不等实根}\}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问： 利用周期函数的性质。若 $x\in I_k=(2k-1,2k+1]$，则通过平移可得 $x-2k\in (-1,1]=I_0$。利用 $f(x)=f(x-2k)$，代入已知的 $I_0$ 上的解析式即可求得 $I_k$ 上的表达式。
2. 第（2）问： 转化为一元二次方程在指定区间内的实根分布问题。
   • 将 $f(x)$ 在 $I_k$ 上的表达式代入方程 $f(x)=ax$，整理为关于 $x$ 的一元二次方程。
   • 方程在 $(2k-1,2k+1]$ 上有两个不等实根，需要满足：判别式 $\Delta >0$，且两个根都在该半开半闭区间内。
   • 结合二次函数的轴对称性及区间端点值符号（注意左开右闭的边界），列出关于参数 $a$ 的不等式组求解。

✅【答案】

Success

$(1)$ $f(x)=(x-2k{)}^2$，$x\in I_k$

$(2)$ $M_k=\left(0,\frac{1}{2k+1}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $f(x)$ 在 $I_k$ 上的解析表达式

设 $x\in I_k=(2k-1,2k+1]$，其中 $k\in \mathbf{Z}$。 两边各减去 $2k$ 得： $-1<x-2k\le 1$ 即 $x-2k\in I_0$。

因为 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数，所以： $f(x)=f(x-2k)$ 已知当 $t\in I_0$ 时，$f(t)=t^2$，令 $t=x-2k$，代入得： $f(x)=(x-2k{)}^2$

所以， $f(x)$ 在 $I_k$ 上的解析表达式为： $f(x)=(x-2k{)}^2,x\in (2k-1,2k+1]$

（2）求集合 $M_k$

当 $x\in I_k$ 时，方程 $f(x)=ax$ 化为： $(x-2k{)}^2=ax$ 展开并整理为标准形式： $x^2-(4k+a)x+4k^2=0\text{(1)}$

设 $g(x)=x^2-(4k+a)x+4k^2$。方程 ① 在 $I_k=(2k-1,2k+1]$ 上有两个不等实根，等价于二次函数 $g(x)$ 的图象与 $x$ 轴在区间 $(2k-1,2k+1]$ 内有两个不同的交点。

根据二次函数性质，需满足以下条件：

1. 判别式大于零： $\Delta =(4k+a{)}^2-16k^2=8ka+a^2=a(a+8k)>0\text{(2)}$
2. 对称轴在区间内部： $2k-1<\frac{4k+a}{2}<2k+1\text{(3)}$
3. 端点值约束（注意左开右闭边界）：
   • 左端点 $x=2k-1$ 处必须严格大于 0（若为 0 则根落在开区间外）： $g(2k-1)>0$
   • 右端点 $x=2k+1$ 处可以大于或等于 0（若为 0 刚好落在闭区间上）： $g(2k+1)\ge 0$

以下分别求解各不等式（注意 $k$ 为自然数，即 $k\in \{1,2,3,\cdots \}$，故 $k>0$）：

• 由 ② 得： $a>0$ 或 $a<-8k$。

• 由 ③ 变形得： $4k-2<4k+a<4k+2⟹-2<a<2$。 结合 $\Delta >0$ 及 $k\ge 1⟹-8k\le -8$，由于 $a<-8k$ 与 $-2<a<2$ 无交集，故此处参数范围缩减为： $0<a<2\text{(4)}$

• 由端点值条件得：

  g(2k-1) &= (2k-1)^2 - (4k+a)(2k-1) + 4k^2 \\ &= 4k^2 - 4k + 1 - (8k^2 - 4k + 2ka - a) + 4k^2 \\ &= 1 - 2ka + a > 0 \implies a(1 - 2k) > -1 \end{aligned}$$ 因为 $k \ge 1$，所以 $1 - 2k < 0$，不等号方向改变： $$a < \frac{1}{2k - 1} \quad ⑤$$ $$\begin{aligned} g(2k+1) &= (2k+1)^2 - (4k+a)(2k+1) + 4k^2 \\ &= 4k^2 + 4k + 1 - (8k^2 + 4k + 2ka + a) + 4k^2 \\ &= 1 - 2ka - a \ge 0 \implies a(2k + 1) \le 1 \end{aligned}$$ 因为 $2k + 1 > 0$，所以： $$a \le \frac{1}{2k + 1} \quad ⑥$$

综上所述，我们需要求 ④、⑤、⑥ 夹逼区间的交集。 比较两边界值的大小： 因为 $2k+1>2k-1>0$，所以其倒数满足： $\frac{1}{2k+1}<\frac{1}{2k-1}$ 且对任意 $k\ge 1$，恒有 $\frac{1}{2k+1}\le \frac{1}{3}<2$。

因此，由 ⑤ 和 ⑥ 求得的交集上限由较小者 ⑥ 决定： $a\le \frac{1}{2k+1}$

结合 ④ 的下限 $a>0$，最终求得 $a$ 的取值范围为： $0<a\le \frac{1}{2k+1}$

用集合形式表示， $M_k=\left\{a|0<a\le \frac{1}{2k+1}\right\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 函数周期性的解析式平移变换，二次方程在半开半闭区间上的根分布限制条件。
2. 核心方法： 边界精细讨论法。由于区间 $I_k$ 的左端点开放、右端点封闭，在应用二次函数端点值定理时，必须对 $g(2k-1)$ 和 $g(2k+1)$ 分别使用“大于”与“大于等于”的严格逻辑区别。
3. 避坑指南： - 在化简条件 ③ 时，容易遗漏由于 $k\ge 1$ 导致 $a<-8k$ 分支与 $-2<a<2$ 互斥的检验，造成无效范围留存。
   • 边界漏判：若将 $g(2k-1)>0$ 错写为 $\ge 0$，则会使得最终解包含错误边界，导致失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于周期函数与二次函数的交汇，核心是“整体平移”思想——将 $I_k$ 上的问题化归到 $I_0$ 上，考查周期性与解析式迁移，是“区间变换”类问题的典型母题。

结论推广：一般地，若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，$x\in I_0$ 时 $f(x)=\phi (x)$，则 $x\in I_k$ 时 $f(x)=\phi (x-kT)$。本题第(2)问可推广为：方程 $\phi (x-2k)=ax$ 在 $I_k$ 上有两解的参数范围，关键由判别式、对称轴位置、端点值三重约束夹逼确定。

方法推广：处理“方程在给定区间上有两解”问题，常用“二次函数图象+区间根分布”法：$\Delta >0$、对称轴在区间内、端点值符号（注意开闭区间差异）三条件联立，此法可迁移至含参方程根的个数讨论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1992-上海-12 单-函数的单调性
• 1990-广东理-10 单-二次函数的单调区间
• 1991-全国文-14 单-奇函数的单调性