1989-全国卷理-11 单-复合函数的单调性

本题导读

本题考查复合函数的单调性，以及二次函数的性质。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 已知 $f(x)=8+2x-x^2$，如果 $g(x)=f(2-x^2)$，那么 $g(x)$ ()

A. 在区间 $(-1,0)$ 上是减函数　　　　　　B. 在区间 $(0,1)$ 上是减函数 C. 在区间 $(-2,0)$ 上是增函数　　　　　　D. 在区间 $(0,2)$ 上是增函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 拆解复合结构： 设内层函数为 $u(x)=2-x^2$，外层函数为 $f(u)=8+2u-u^2$。则 $g(x)=f[u(x)]$。
2. 分析内层函数： 内层函数 $u=2-x^2$ 是对称轴为 $x=0$、开口向下的抛物线。
   • 当 $x<0$ 时，$u(x)$ 单调递增；
   • 当 $x>0$ 时，$u(x)$ 单调递减。
3. 分析外层函数： 外层函数 $f(u)=-u^2+2u+8$ 是对称轴为 $u=-\frac{2}{2(-1)}=1$、开口向下的抛物线。
   • 当 $u<1$ 时，$f(u)$ 单调递增；
   • 当 $u>1$ 时，$f(u)$ 单调递减。
4. 结合区间锁定结论： 根据选项中提及的区间，分别求出内层函数的值域（即外层函数的自变量范围），再结合“同增异减”法则进行复合判定。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设内层函数为 $u=2-x^2$，外层函数为 $f(u)=8+2u-u^2$。

• 对于 B 选项涉及的区间 $(0,1)$：
  • 当 $x\in (0,1)$ 时，内层函数 $u=2-x^2$ 的导数 $u^{\prime }=-2x<0$，故 $u(x)$ 严格单调递减。
  • 当 $x\in (0,1)$ 时，计算 $u$ 的取值范围： $u\in (2-1^2,2-0^2)⟹u\in (1,2)$。
  • 审视外层函数 $f(u)=-u^2+2u+8$，其对称轴为 $u=1$，开口向下。因此当 $u\in (1,2)$ 时， $f(u)$ 严格单调递减。
  • 根据复合函数单调性“异减同增”法则（内层递减 $\times$ 外层递减 $⟹$ 复合后递增）， $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上应为增函数。故 B 错误。
• 对于 A 选项涉及的区间 $(-1,0)$：
  • 当 $x\in (-1,0)$ 时，内层函数 $u=2-x^2$ 严格单调递增。
  • 此时 $u$ 的取值范围为： $u\in (2-(-1{)}^2,2-0^2)⟹u\in (1,2)$。
  • 当 $u\in (1,2)$ 时，外层函数 $f(u)$ 严格单调递减。
  • 根据复合函数单调性原则（内层递增 $\times$ 外层递减 $⟹$ 复合后递减）， $g(x)$ 在 $(-1,0)$ 上严格为减函数。故 A 正确。

(注：同理可验证 C、D 区间内由于跨越了外层对称轴或内层两边单调性不一致，均不符合对应结论。)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 复合函数单调性的“同增异减”判定法则。
2. 核心方法： * 分层单调性分析： 将 $g(x)$ 拆为内、外两层，必须严格注意“内层函数的值域是外层函数的定义域”这一核心纽带纽结。
3. 避坑指南： * 容易忽略外层函数 $f(u)$ 的对称轴位置 $u=1$。部分学生误将 $x$ 的区间直接套用到 $f(u)$ 的解析式中，导致外层单调性判定错误。
   • 记忆混淆口诀。牢记：两层单调性相同（同为增或同为减）则复合函数为增；两层单调性相反（一增一减）则复合函数为减。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于高中数学函数性质的核心传统题型，源于教材对复合函数运算逻辑的深化考查。在高等数学中，该过程对应的微积分表达为复合函数求导链式法则（Chain Rule）： $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(2-x^2)\cdot (2-x^2{)}^{\prime }=(2-2u)\cdot (-2x)=4x(u-1)=4x(1-x^2)$ 利用导数符号判断单调性：令 $g^{\prime }(x)=0⟹x=0,\pm 1$。 当 $x\in (-1,0)$ 时，$x<0$ 且 $1-x^2>0$，故 $g^{\prime }(x)<0$，函数单调递减，与代数分析完全契合。
2. 结论推广： 设 $g(x)=f(h(x))$，若 $f(x)$ 与 $h(x)$ 均为二次函数，则 $g(x)$ 的极值点及单调性转折点不仅包含内层函数 $h(x)$ 的对称轴，还包含使 $h(x)$ 等于外层函数 $f(u)$ 对称轴的各实根点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-上海-12 单-函数的单调性
• 1991-全国文-14 单-奇函数的单调性
• 1990-广东理-10 单-二次函数的单调区间