1989-全国文-12 单-复合函数的单调性

本题导读

本题考查复合函数的单调性，利用导数判断。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(文)） 已知 $f(x)=8+2x-x^2$，如果 $g(x)=f(2-x^2)$，那么 $g(x)$()

A. 在区间 $(-1,0)$ 上是减函数　　　　　　B. 在区间 $(0,1)$ 上是减函数 C. 在区间 $(-2,0)$ 上是增函数　　　　　　D. 在区间 $(0,2)$ 上是增函数

🔍【思路分析】

破题导航

求复合函数导数，判断各区间符号。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$g\prime (x)=f\prime (2-x^2)\cdot (-2x)=(2-2(2-x^2))(-2x)=4x(1-x^2)$。在 $(-1,0)$ 上 $x<0$ 且 $1-x^2>0$，故 $g\prime (x)<0$，减函数；在 $(0,1)$ 上 $g\prime (x)>0$，增函数。故只有 A 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复合函数的单调性

核心方法：求复合函数导数，判断各区间单调性。

避坑指南：复合函数求导

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复合函数求导。

结论推广：g′(x)=4x(1−x²)。

方法推广：变号点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-上海-12 单-函数的单调性
• 1990-广东理-10 单-二次函数的单调区间
• 1991-全国文-14 单-奇函数的单调性