2000-广东卷理-17 解-两角和与差的正弦公式

本题导读

本题考查三角函数的化简、最值求解以及图象变换。解题的核心在于利用辅助角公式将 $y=a\sin x+b\cos x$ 型函数化为 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的形式，进而由正弦函数的性质求解最值点集合与图象变换步骤。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 已知函数 $y=\sqrt{3}\sin x+\cos x,x\in \mathbf{R}$.

(1) 当函数 $y$ 取得最大值时，求自变量 $x$ 的集合；

(2) 该函数的图象可由 $y=\sin x(x\in \mathbf{R})$ 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

🔍【思路分析】

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1. 统一三角函数式：利用辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$，将原解析式化为 $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$。
2. 求解最大值点集合：利用正弦函数 $y=\sin \theta$ 在 $\theta =\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 时取得最大值，令 $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，解出 $x$。
3. 分析图象变换：以 $y=\sin x$ 为起点，分析从 $\sin x\to \sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\to 2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的平移与伸缩过程（或先伸缩后平移）。

✅【答案】

Success

(1) 自变量 $x$ 的集合为 $\left\{x|x=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$

(2) 先把 $y=\sin x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位，再把所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）

✍【详细解析】

Abstract

化简原解析式： 利用辅助角公式变形： $y=\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\right)$ 因为 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$，代入上式得： $y=2\left(\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

(1) 求解自变量 $x$ 的集合： 要使函数 $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最大值，需满足： $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1$ 根据正弦函数的性质，此时角的值满足： $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 移项化简得： $x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}+2k\pi =\frac{\pi }{3}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 所以，当函数取得最大值时，自变量 $x$ 的集合为： $\left\{x|x=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$

(2) 分析图象变换过程： 要由 $y=\sin x$ 的图象变换得到 $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象，可采用以下两种步骤之一：

• 方案一（先平移后伸缩）：
  1. 将 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象；
  2. 将所得图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍，得到 $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象。
• 方案二（先伸缩后平移）：
  1. 将 $y=\sin x$ 的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍，得到 $y=2\sin x$ 的图象；
  2. 将所得图象向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到 $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式的准确应用；三角函数图象变换中“左加右减”与“纵坐标伸缩”的法则。
2. 核心方法：化一法（将多元单项式化为一元单项式）。
3. 避坑指南：

• 第一问最终结果必须写成集合的形式，不能仅写成一个方程，否则不符合题目“求自变量 $x$ 的集合”的问法。
• 方案一中先平移再伸缩时，平移量直接作用于 $x$；若涉及横坐标伸缩（形如 $\sin \omega x$），需注意先抽离系数 $\omega$ 再看平移量。本题中 $\omega =1$，故平移量无陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查三角函数的核心基础知识，是历年高考解答题的第一道大题（常见于三角函数或解三角形考点）的标准模板。
2. 结论推广：对于任意形如 $f(x)=a\sin \omega x+b\cos \omega x$ 的函数，均能化为 $f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\omega x+\phi )$，其中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$。其最大值为 $\sqrt{a^2+b^2}$，最小值为 $-\sqrt{a^2+b^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值
• 1986-上海文-32 解-三角式的最值