1992-上海-23 解-动点轨迹方程

本题导读

本题考查动点轨迹方程。核心在于设出动点与椭圆交点的坐标，利用数量关系消去参数。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） 设动直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴，且与椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 交于 $A$、$B$ 两点，$P$ 是 $l$ 上满足 $|PA|\cdot |PB|=1$ 的点，求点 $P$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $P(x,y)$、$A(x,y_1)$、$B(x,-y_1)$，用 $|PA|\cdot |PB|=1$ 建立 $y$ 与 $y_1$ 的关系，再结合椭圆消 $y_1$。

✅【答案】

Success

$x^2+4y^2=4$ 且 $|x|\le 2$，即椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

设直线 $l$ 方程为 $x=t$（$|t|\le 2$），与椭圆交于 $A(t,y_0)$、$B(t,-y_0)$，其中 $y_0=\pm \sqrt{1-\frac{t^2}{4}}$。设 $P(t,y)$，则 $|PA|\cdot |PB|=|y-y_0|\cdot |y+y_0|=|y^2-y_0^2|=1$。故 $y^2-y_0^2=\pm 1$。又 $y_0^2=1-\frac{t^2}{4}$，代入整理（取 $y^2=y_0^2+1$ 时 $y_0$ 需满足 $|y|\ge |y_0|$ 等约束，最终轨迹）得 $P$ 的轨迹为 $x^2+4y^2=4$，即椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$（含两段）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：动点轨迹方程

核心方法：设 $P(x,y)$，$A(x,y_1)$，$|y_1-y||y_1+y|=1$，消 $y_1$ 得轨迹椭圆

避坑指南：设点联立消参

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：动点轨迹方程

结论推广：设点 $P(x,y)$ 与椭圆交点关系

方法推广：设点消参

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1993-上海-15 单-圆锥曲线的定义与轨迹
• 1993-新高考文-11 单-两圆外切的动圆轨迹
• 1996-上海文-13 填-圆的轨迹方程