1996-上海文-13 填-圆的轨迹方程

本题导读

本题考查动圆圆心的轨迹方程，核心在于由相切（外切、与 $y$ 轴相切）建立等量关系。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(文)） 与圆 $(x-2{)}^2+y^2=1$ 外切，且与 $y$ 轴相切的动圆圆心 $P$ 的轨迹方程为　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设动圆圆心 $P(x,y)$，半径为 $|x|$。
2. 由外切得圆心距 $=1+|x|$，列方程化简。

✅【答案】

Success

$y^2=6x-3$

✍【详细解析】

Abstract

设动圆圆心为 $P(x,y)$。因为动圆与 $y$ 轴相切，故半径 $r=|x|$。又动圆与圆 $(x-2{)}^2+y^2=1$（圆心 $(2,0)$，半径 $1$）外切，故圆心距等于半径之和，即 $\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}=1+|x|$。两边平方得 $(x-2{)}^2+y^2=(1+|x|{)}^2=1+2|x|+x^2$，即 $x^2-4x+4+y^2=1+2|x|+x^2$，整理得 $y^2=2|x|+4x-3$。当 $x⩾0$ 时，$y^2=6x-3$（此时 $x⩾\frac{1}{2}$）；当 $x<0$ 时，$y^2=2x-3<0$ 无解。故轨迹方程为 $y^2=6x-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的轨迹方程

核心方法：设动圆圆心 $P(x,y)$，与 $y$ 轴相切且与圆 $(x-2{)}^2+y^2=1$ 外切，半径 $|x|$，圆心距 $=1+|x|$，即 $\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}=1+|x|$，平方整理得 $y^2=6x-3$

避坑指南：外切与相切的几何条件

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆的方程

结论推广：一般地，由几何条件（相切）建立等量关系

方法推广：外切与相切的几何条件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-25 解-由条件求圆的方程
• 1998-全国卷文-03 单-直线与圆相切的条件
• 1997-上海文-10 填-圆的弦中点与直线方程