1992-全国文-10 单-圆与抛物线的相切

本题导读

本题考查圆的方程，以及圆与抛物线准线相切的几何条件。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 圆心在抛物线 $y^2=2x$ 上，且与 $x$ 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ()

A. $x^2+y^2-x-2y-\frac{1}{4}=0$　　　　　　　　　　　　　　B. x^2+y^2+x-2y+1=0 C. x^2+y^2-x-2y+1=0　　　　　　　　　　　　　　　D. $x^2+y^2-x-2y+\frac{1}{4}=0$

🔍【思路分析】

破题导航

抛物线 $y^2=2x$ 准线 $x=-\frac{1}{2}$，圆心 $(x_0,y_0)$ 到 $x$ 轴与准线距离相等，$|y_0|=x_0+\frac{1}{2}$，代回得圆心 $\left(\frac{1}{2},1\right)$，半径 $1$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=2x$ 的准线为 $x=-\frac{1}{2}$。设圆心 $(x_0,y_0)$ 在抛物线上，$y_0^2=2x_0$，$x_0\ge 0$。圆与 $x$ 轴相切则半径 $r=|y_0|$；与准线相切则 $r=x_0+\frac{1}{2}$。故 $|y_0|=x_0+\frac{1}{2}$。取 $y_0>0$：$y_0=x_0+\frac{1}{2}$，与 $y_0^2=2x_0$ 联立得 $(x_0+\frac{1}{2}{)}^2=2x_0$，$x_0^2-x_0+\frac{1}{4}=0$，$x_0=\frac{1}{2}$，$y_0=1$。圆心 $(\frac{1}{2},1)$、$r=1$：$x^2+y^2-x-2y+\frac{1}{4}=0$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆与抛物线的相切

核心方法：圆心在 $y^2=2x$ 上且与 $x$ 轴、准线 $x=-\frac{1}{2}$ 相切，圆心 $(\frac{1}{2},1)$，半径 $1$

避坑指南：圆心到准线与 $x$ 轴距离相等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆与抛物线

结论推广：圆心到准线与 $x$ 轴距离相等

方法推广：相切转距离相等

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1993-上海-15 单-圆锥曲线的定义与轨迹
• 1994-全国卷文-17 填-抛物线的准线与圆
• 1996-上海文-13 填-圆的轨迹方程