1992-三南-27 解-抛物线的方程

本题导读

本题考查抛物线方程的求解。核心在于利用对称轴与弦长条件联立方程确定参数。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 设抛物线经过两点 $(-1,6)$ 和 $(-1,-2)$，对称轴与 $x$ 轴平行，开口向右；直线 $y=2x+7$ 被抛物线截得的线段的长是 $4\sqrt{10}$，求抛物线的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $(y-k{)}^2=4p(x-h)$，$p>0$。两已知点纵坐标关于对称轴对称，$k=\frac{6-2}{2}=2$。代 $(-1,6)$ 得 $p(-1-h)=4$。直线联立得二次方程，用弦长 $|x_1-x_2|$ 定 $p,h$。

✅【答案】

Success

$(y-2{)}^2=32x+48$

✍【详细解析】

Abstract

设抛物线方程为 $(y-k{)}^2=4p(x-h)$，$p>0$。由于点 $(-1,6)$ 和 $(-1,-2)$ 的纵坐标关于对称轴对称，得 $k=\frac{6+(-2)}{2}=2$。代入点 $(-1,6)$ 得 $16=4p(-1-h)$，即 $p(-1-h)=4$。直线 $y=2x+7$ 与抛物线交点横坐标满足 $(2x+7-2{)}^2=4p(x-h)$，即 $4x^2+(20-4p)x+25+4ph=0$。设两根 $x_1,x_2$。直线斜率为 $2$，截得线段长 $\sqrt{1+2^2}|x_1-x_2|=\sqrt{5}|x_1-x_2|=4\sqrt{10}$，故 $|x_1-x_2|=4\sqrt{2}$。由根差公式 $|x_1-x_2{|}^2=p(p-10-4h)=32$。由 $h=-1-\frac{4}{p}$ 代入得 $p^2-6p-16=0$，因 $p>0$ 得 $p=8$，进而 $h=-\frac{3}{2}$。故抛物线方程为 $(y-2{)}^2=32\left(x+\frac{3}{2}\right)$，即 $(y-2{)}^2=32x+48$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的方程

核心方法：设 $(y-2{)}^2=4p(x-h)$，由弦长 $4\sqrt{10}$ 定 $p=8,h=-\frac{3}{2}$

避坑指南：抛物线方程联立弦长

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线与直线的位置关系

结论推广：弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$

方法推广：联立方程求弦长

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1993-上海-23 解-抛物线与直线的位置关系
• 1993-旧高考文-19 填-抛物线的焦点弦
• 1992-全国文-10 单-圆与抛物线的相切