1991-全国卷理-02 单-抛物线的标准方程

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，以及抛物线的平移变换。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 焦点在 $(-1,0)$，顶点在 $(1,0)$ 的抛物线方程是 ()

A. $y^2=8(x+1)$　　B. $y^2=-8(x+1)$　　C. $y^2=8(x-1)$　　D. $y^2=-8(x-1)$

🔍【思路分析】

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1. 确定开口方向与焦距：由顶点 $(1,0)$ 和焦点 $(-1,0)$ 的相对位置可知，焦点在顶点的左侧，因此抛物线开口向左。顶点到焦点的距离为 $1-(-1)=2$，即 $\frac{p}{2}=2$，解得 $p=4$。
2. 利用平移建立方程：若顶点在原点且开口向左，抛物线方程为 $y^2=-2px=-8x$。现顶点平移至 $(1,0)$，根据“左加右减”原则，将 $x$ 替换为 $x-1$，即可得到目标方程。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

根据抛物线的几何性质，顶点为 $V(1,0)$，焦点为 $F(-1,0)$。 因为两点的纵坐标相同，且焦点在顶点的左侧，所以抛物线的对称轴为 $x$ 轴，开口向左。

顶点到焦点的距离为： $\frac{p}{2}=1-(-1)=2⟹p=4$

若抛物线的顶点在原点 $(0,0)$ 且开口向左，其标准方程为： $y^2=-2px=-8x$

由于该抛物线的实际顶点为 $(1,0)$，相当于将顶点在原点的抛物线向右平移了 1 个单位。 利用坐标平移变换公式，将 $x$ 替换为 $x-1$，得： $y^2=-8(x-1)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的几何要素（顶点、焦点）与其方程形式的对应关系。
2. 核心方法：先求出顶点在原点时的标准方程（确定 $p$ 值与开口方向），再通过顶点坐标 $(h,k)$ 变换为常规方程 $(y-k{)}^2=\pm 2p(x-h)$。
3. 避坑指南：注意平移符号。“开口向左”意味着含有负号（$-2p$）；向右平移 1 个单位，括号内应为 $(x-1)$，易因混淆“开口方向的负号”与“平移的减号”而误选 B 或 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于圆锥曲线板块的经典平移考题。源于教材中抛物线标准方程的拓展延伸，通过改变顶点位置来考查解析几何中“形数结合”的思想。
2. 结论推广：顶点在 $(h,k)$，焦点在 $(h-c,k)$ 且开口向左的抛物线，其方程一般化形式为 $(y-k{)}^2=-4c(x-h)$（其中 $c=\frac{p}{2}$ 为顶点到焦点的距离）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-17 填-抛物线的准线与圆
• 1995-全国卷文-19 填-抛物线的通径长
• 1992-三南-27 解-抛物线的方程