1995-上海文-14 填-抛物线的定义与轨迹

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及到定点与定直线距离相等的轨迹方程的求解。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(文)） 到点 $A(-1,0)$ 和直线 $x=3$ 距离相等的点的轨迹方程是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设动点 $P(x,y)$，用两点间距离与点到直线距离公式。
2. 令两者相等并化简。

✅【答案】

Success

$y^2=-8x+8$

✍【详细解析】

Abstract

设动点 $P(x,y)$，则 $|PA|=\sqrt{(x+1{)}^2+y^2}$，$P$ 到直线 $x=3$ 的距离为 $|x-3|$。由 $|PA|=|x-3|$，得 $\sqrt{(x+1{)}^2+y^2}=|x-3|$，两边平方：$(x+1{)}^2+y^2=(x-3{)}^2$，即 $x^2+2x+1+y^2=x^2-6x+9$，得 $y^2=-8x+8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的定义与轨迹

核心方法：设点 $P(x,y)$，$|PA|$ 等于 $P$ 到直线 $x=3$ 的距离，$\sqrt{(x+1{)}^2+y^2}=|x-3|$，平方得 $y^2=-8x+8$

避坑指南：距离相等定义抛物线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材抛物线的定义

结论推广：一般地，到定点与定直线距离相等

方法推广：距离相等定义抛物线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-20 解-中点轨迹方程与面积
• 1996-上海文-13 填-圆的轨迹方程
• 1997-上海理-05 单-直线的平移与斜率