1998-上海理-20 解-中点轨迹方程与面积

本题导读

本题考查中点轨迹方程与抛物线的弦长面积。核心在于用相关点法求中点轨迹，再由弦长与点到直线距离求面积。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(理)） (1) 动直线 $y=a$ 与抛物线 $y^2=\frac{1}{2}(x-2)$ 相交于 $A$ 点，动点 $B$ 的坐标是 $(0,3a)$，求线段 $AB$ 中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程.

(2) 过点 $D(2,0)$ 的直线 $l$ 交上述轨迹 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点，$E$ 点坐标是 $(1,0)$，若 $△EPQ$ 的面积为 $4$，求直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $A,B$ 坐标写出中点 $M$ 的参数方程，消参得轨迹。
2. 设直线 $y=k(x-2)$，用弦长与点到直线距离表示面积，解出 $k$。

✅【答案】

Success

(1) $y^2=4(x-1)$；(2) $\alpha =\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $M$ 的坐标为 $(x,y)$。由 $y=a$ 代入 $y^2=\frac{1}{2}(x-2)$ 得 $A$ 的坐标为 $(2a^2+2,a)$，$B$ 的坐标为 $(0,3a)$，所以 $M$ 满足 $x=\frac{2a^2+2+0}{2}=a^2+1$，$y=\frac{a+3a}{2}=2a$。消去 $a$（$a=\frac{y}{2}$），得 $x=\frac{y^2}{4}+1$，即轨迹 $C$ 的方程为 $y^2=4(x-1)$。 (2) 【法一】设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-2)$，因 $l$ 与抛物线有两个交点，故 $k\ne 0$。由 $y=k(x-2)$ 得 $x=\frac{y}{k}+2$，代入 $y^2=4(x-1)$，得 $y^2-\frac{4}{k}y-4=0$，且 $\Delta =\frac{16}{k^2}+16>0$ 恒成立。记这个方程的两实根为 $y_1,y_2$，则 $|PQ|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}=\frac{4(k^2+1)}{k^2}$。又点 $E$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|k\cdot 1-0-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}}$。所以 $S_{△EPQ}=\frac{1}{2}|PQ|\cdot d=\frac{2\sqrt{k^2+1}}{|k|}$。由 $\frac{2\sqrt{k^2+1}}{|k|}=4$ 得 $k^2=\frac{1}{3}$，所以 $k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$，故 $\alpha =\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$。 【法二】设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-2)$，代入 $y^2=4(x-1)$，得 $k^2{x}^2-(4k^2+4)x+4k^2+4=0$。因 $l$ 与抛物线有两个交点，故 $k\ne 0$，而 $\Delta =16(k^2+1)>0$ 恒成立。记这个方程的两个实根为 $x_1,x_2$，因抛物线 $y^2=4(x-1)$ 的焦点是 $D(2,0)$，准线是 $x=0$，所以 $|PQ|=x_1+x_2=\frac{4(k^2+1)}{k^2}$。其余同解法一。 （注：本题配图待补。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：中点轨迹方程与面积

核心方法：(1) $A=(2a^2+2,a)$、$B=(0,3a)$，中点 $M$ 满足 $x=a^2+1,y=2a$，消 $a$ 得 $y^2=4(x-1)$；；(2) 直线 $y=k(x-2)$ 代入，$|PQ|=\frac{4(k^2+1)}{k^2}$，$d=\frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}}$，$S=\frac{2\sqrt{k^2+1}}{|k|}=4$ 得 $k^2=\frac{1}{3}$，$\alpha =\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$

避坑指南：中点参数消元 + 弦长面积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材轨迹方程

结论推广：一般地，中点轨迹用相关点消参

方法推广：中点参数消元

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-22 解-抛物线的定义与方程
• 1999-上海理-21 解-抛物线截面的水沟应用
• 2001-上海文-03 填-相关点法求轨迹方程