1997-上海理-20B 解-旋转体体积与面积

本题导读

本题考查旋转体的体积与直线所围图形的面积，核心在于定积分求体积与面积定参数。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） （选做题，20A 与 20B 二选一）如图，抛物线 $C_1:y=-x^2$ 与抛物线 $C_2:y=x^2-2ax$（$a>0$）交于 $O,A$ 两点.

(1)把 $C_1$ 与 $C_2$ 所围成的图形（阴影部分）绕 $x$ 轴旋转一周，求所得几何体的体积 $V$；

(2)若过原点的直线 $l$ 与抛物线 $C_2$ 所围成的图形面积为 $\frac{9}{2}{a}^3$，求直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求交点，用旋转体体积公式。
2. 设 $y=kx$，用面积定 $k$。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{\pi a^5}{3}$

(2) $y=ax$ 或 $y=-5ax$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$C_1$ 和 $C_2$ 交于两点 $O(0,0)$，$A(a,-a^2)$，$V=\pi {\int }_0^a[(x^2-2ax{)}^2-(-x^2{)}^2]dx=\pi {\int }_0^a(4a^2{x}^2-4a{x}^3)dx=4a\pi \left(\frac{a^2}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4\right){|}_0^a=\frac{\pi a^5}{3}$。 （2）设过原点的直线方程为 $y=kx$，解方程组 $\{\begin{array}{l}y=kx\\ y=x^2-2ax\end{array}$ 得 $x_1=0$，$x_2=k+2a$。当 $k+2a⩾0$ 时，$S={\int }_0^{k+2a}(kx-x^2+2ax)dx={\int }_0^{k+2a}[(k+2a)x-x^2]dx=\frac{(k+2a{)}^3}{6}$。于是 $\frac{(k+2a{)}^3}{6}=\frac{9}{2}{a}^3$，得 $(k+2a{)}^3=27a^3$，$k=a$，直线 $l$ 为 $y=ax$。当 $k+2a<0$ 时，$S={\int }_{k+2a}^0[(k+2a)x-x^2]dx=-\frac{(k+2a{)}^3}{6}$，于是 $-\frac{(k+2a{)}^3}{6}=\frac{9}{2}{a}^3$，得 $k=-5a$，直线 $l$ 为 $y=-5ax$。综上，直线 $l$ 的方程为 $y=ax$ 或 $y=-5ax$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体体积与面积

核心方法：(1) 交点 $O(0,0),A(a,-a^2)$，$V=\pi {\int }_0^a[(x^2-2ax{)}^2-(-x^2{)}^2]dx=\pi {\int }_0^a(4a^2{x}^2-4a{x}^3)dx=\frac{\pi a^5}{3}$；；(2) 设 $y=kx$，交点横坐标 $0$ 与 $k+2a$，面积 $\frac{(k+2a{)}^3}{6}=\frac{9}{2}{a}^3$ 得 $k=a$ 或 $k=-5a$，直线 $y=ax$ 或 $y=-5ax$

避坑指南：旋转体体积 + 面积定参

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材定积分应用

结论推广：一般地，旋转体体积 $V=\pi \int (f^2-g^2)dx$

方法推广：旋转体体积 + 面积定参

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-20 解-中点轨迹方程与面积
• 1999-上海理-22 解-椭圆与曲线的公共点及面积函数
• 1997-全国卷文-23 解-正方体中的垂直、角与体积