1997-全国卷文-23 解-正方体中的垂直、角与体积

本题导读

本题考查正方体中的线线垂直、异面直线所成角、面面垂直与体积。核心在于用线面垂直证垂直、建系求角、等积法求体积。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$，$F$ 分别是 $B{B}_1$，$CD$ 的中点.

(1)证明：$AD\perp D_{1}F$；

(2)求 $AE$ 与 $D_{1}F$ 所成的角；

(3)证明：面 $AED\perp$ 面 $A_{1}F{D}_1$；

(4)设 $A{A}_1=2$，求三棱锥 $F-A_{1}E{D}_1$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 由 $AD\perp$ 面 $DC{C}_1{D}_1$ 证 $AD\perp D_{1}F$。
2. 建系求 $AE$、$D_{1}F$ 方向向量夹角。
3. 由线面垂直推面面垂直。
4. 等积法求三棱锥体积。

✅【答案】

Success

（1）证明见解析；（2）$90^{\circ }$；（3）证明见解析；（4）$1$．

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}_1}$ 的方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系．设正方体棱长为 $2$，则 $A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A_1(0,0,2),D_1(0,2,2)$ 又 $E$ 是 $B{B}_1$ 的中点，$F$ 是 $CD$ 的中点，故 $E(2,0,1),F(1,2,0)$

（1） $\overrightarrow{AD}=(0,2,0)$，$\overrightarrow{D_{1}F}=(1,0,-2)$，则 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{D_{1}F}=0\times 1+2\times 0+0\times (-2)=0$ 所以 $AD\perp D_{1}F$．（也可用几何法：$AD\perp$ 平面 $DC{C}_1{D}_1$，而 $D_{1}F\subset$ 平面 $DC{C}_1{D}_1$，故 $AD\perp D_{1}F$．）

（2） $\overrightarrow{AE}=(2,0,1)$，$\overrightarrow{D_{1}F}=(1,0,-2)$，则 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{D_{1}F}=2\times 1+0\times 0+1\times (-2)=0$ 所以 $AE\perp D_{1}F$，即 $AE$ 与 $D_{1}F$ 所成的角为 $90^{\circ }$．

（3） 由（2）知 $AE\perp D_{1}F$；又 $A_1{D}_1\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，$AE\subset$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，所以 $AE\perp A_1{D}_1$．而 $D_{1}F\cap A_1{D}_1=D_1$，故 $AE\perp \text{平面 }{A}_{1}F{D}_1$ 又 $AE\subset$ 平面 $AED$，所以平面 $AED\perp$ 平面 $A_{1}F{D}_1$．

（4） 用等体积法：$V_{F-A_{1}E{D}_1}=V_{E-A_1{D}_{1}F}$． 先求底面面积．在 $\mathrm{Rt}△D{D}_{1}F$ 中，$D{D}_1=2$，$DF=1$，故 $D_{1}F=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；又 $A_1{D}_1\perp$ 平面 $DC{C}_1{D}_1$，$D_{1}F\subset$ 平面 $DC{C}_1{D}_1$，故 $A_1{D}_1\perp D_{1}F$，于是 $S_{△A_1{D}_{1}F}=\frac{1}{2}\times A_1{D}_1\times D_{1}F=\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{5}=\sqrt{5}$ 再求点 $E$ 到平面 $A_{1}F{D}_1$ 的距离．$\overrightarrow{D_1{A}_1}=(0,-2,0)$，$\overrightarrow{D_{1}F}=(1,0,-2)$，设平面 $A_{1}F{D}_1$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，由 $\{\begin{array}{l}-2y=0\\ x-2z=0\end{array}$ 取 $z=1$ 得 $\vec{n}=(2,0,1)$．又 $\overrightarrow{D_{1}E}=(2,-2,-1)$，所以 $h=\frac{|\overrightarrow{D_{1}E}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|2\times 2+(-2)\times 0+(-1)\times 1|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$ 故 $V_{F-A_{1}E{D}_1}=V_{E-A_1{D}_{1}F}=\frac{1}{3}\times \sqrt{5}\times \frac{3}{\sqrt{5}}=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体中的垂直、角与体积

核心方法：(1) $AD\perp$ 面 $DC{C}_1{D}_1$，故 $AD\perp D_{1}F$；；(2) 建系可得 $AE$ 与 $D_{1}F$ 方向向量内积为 $0$，所成角 $\frac{\pi }{2}$；；(3) $AE\perp D_{1}F$ 且 $AE\perp A_1{D}_1$ 得 $AE\perp$ 面 $A_{1}F{D}_1$，故面 $AED\perp$ 面 $A_{1}F{D}_1$；；(4) $V_{F-A_{1}E{D}_1}=\frac{1}{3}{S}_{△A_{1}E{D}_1}\cdot h=\frac{4}{3}$

避坑指南：线面垂直 + 建系 + 等积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材正方体与线面关系

结论推广：一般地，线面垂直证线线垂直，建系求角

方法推广：线面垂直建系等积

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2001-上海文-19 解-正方体垂直与二面角
• 1998-上海文-19 解-直四棱柱的二面角与异面角
• 2002-上海卷文-17 解-直三棱柱线面角