1995-全国卷文-24 解-圆柱中三棱锥的线面垂直与点面距离

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。核心在于构造 $AF\perp$ 平面 $DEB$ 的垂直链，并用体积比求点面距离。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 如图，圆柱的轴截面 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 在底面的圆周上，$AF\perp DE$，$F$ 是垂足.

(1) 求证：$AF\perp DB$；

(2) 如果圆柱与三棱锥 $D-ABE$ 的体积的比等于 $3\pi$，求点 $E$ 到截面 $ABCD$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 由 $DA\perp$ 平面 $ABE$、$AE\perp EB$ 推 $EB\perp$ 平面 $DAE$，得 $EB\perp AF$，结合 $AF\perp DE$ 得 $AF\perp$ 平面 $DEB$。
2. (2) 设底面半径 $R$，用体积比解出 $E$ 到直径 $AB$ 的距离，即到轴截面的距离。

✅【答案】

Success

(1) 见解析

(2) 距离等于圆柱的底面半径

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因 $DA\perp$ 底面圆所在平面，$EB\subset$ 底面，故 $DA\perp EB$。又 $AB$ 是底面直径，$E$ 在圆周上，故 $AE\perp EB$。由 $DA\cap AE=A$，得 $EB\perp$ 平面 $DAE$。因 $AF\subset$ 平面 $DAE$，故 $EB\perp AF$。又 $AF\perp DE$，$EB\cap DE=E$，故 $AF\perp$ 平面 $DEB$。而 $DB\subset$ 平面 $DEB$，所以 $AF\perp DB$。 (2) 设圆柱底面半径为 $R$，则 $AB=AD=2R$。设 $E$ 到 $AB$ 的距离为 $h$（$H$ 为垂足，$EH=h$）。$V_{圆柱}=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3$；$S_{△ABE}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot EH=Rh$，$V_{D-ABE}=\frac{1}{3}\cdot AD\cdot S_{△ABE}=\frac{1}{3}\cdot 2R\cdot Rh=\frac{2}{3}{R}^{2}h$。由 $\frac{V_{圆柱}}{V_{D-ABE}}=\frac{2\pi R^3}{\frac{2}{3}{R}^{2}h}=\frac{3\pi R}{h}=3\pi$，得 $h=R$。轴截面 $ABCD$ 过直径 $AB$ 且垂直于底面，点 $E$ 到截面 $ABCD$ 的距离即 $E$ 到 $AB$ 的距离，故所求距离等于圆柱的底面半径 $R$。（此时 $EH=R$，$H$ 为底面圆心，$E$ 为半圆弧的中点。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱中三棱锥的线面垂直与点面距离

核心方法：$EB\perp$ 平面 $DAE$ 得 $EB\perp AF$，结合 $AF\perp DE$ 得 $AF\perp$ 平面 $DEB$，故 $AF\perp DB$；体积比定 $h=R$

避坑指南：垂直链推线线垂直后用体积比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆柱与内接多面体

结论推广：一般地，直径上的圆周角是直角，是构造线面垂直链的关键

方法推广：垂直链加体积比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-23 解-正三棱柱中的垂直与体积
• 1997-全国卷文-23 解-正方体中的垂直、角与体积
• 1996-上海文-21 解-二面角与异面直线所成角