1992-全国文-26 解-四棱锥的体积

本题导读

本题考查四棱锥的体积。核心在于选择合适的底面与高（或用等体积转换）。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 如图，已知 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是棱长为 $a$ 的正方体，$E,F$ 分别为棱 $A{A}_1$ 与 $C{C}_1$ 的中点，求四棱锥 $A_1-EBF{D}_1$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

底面 $EBF{D}_1$ 是菱形，其对角线 $EF=\sqrt{2}a$、$BD=a\sqrt{2}$，面积 $=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}a\cdot \sqrt{2}a\cdot \frac{1}{2}\dots$ 精确计算底面积后乘高 $\frac{a}{\sqrt{2}}$ 得 $\frac{1}{6}{a}^3$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{6}{a}^3$

✍【详细解析】

Abstract

连 $EF$。$EBF{D}_1$ 为菱形（$EB=BF=F{D}_1=D_{1}E=\frac{\sqrt{5}}{2}a$），对角线 $EF$ 把它分成两个全等的三角形 $△EBF$ 与 $△E{D}_{1}F$，而 $A_1$ 到两三角形所在的同一平面的距离相同，故 $V_{A_1-EBF{D}_1}=2V_{A_1-EBF}$。换底：$V_{A_1-EBF}=V_{B-A_{1}EF}$。$△A_{1}EF$ 中，$E$ 在 $A{A}_1$ 上、$A_1$ 与 $E$ 同在对角面 $AC{C}_1{A}_1$ 内，$F$ 在 $C{C}_1$ 上也在该对角面内，且 $E{A}_1\perp EF$（$E{A}_1$ 沿竖直棱方向、$EF$ 在水平投影沿对角线方向），故 $S_{△A_{1}EF}=\frac{1}{2}\cdot E{A}_1\cdot EF=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \sqrt{2}a=\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^2$。平面 $A_{1}EF$ 即正方体对角面 $AC{C}_1{A}_1$，$B$ 到它的距离为 $B$ 到对角面 $AC$ 的距离 $=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。故 $V_{B-A_{1}EF}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}{a}^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{1}{12}{a}^3$，从而 $V_{A_1-EBF{D}_1}=2\cdot \frac{1}{12}{a}^3=\frac{1}{6}{a}^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥的体积

核心方法：四棱锥 $A_1-EBF{D}_1$ 体积 $\frac{1}{6}{a}^3$

避坑指南：底为菱形，高为 $A_1$ 到底面距离

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于四棱锥体积

结论推广：底面面积乘高的三分之一

方法推广：选好底面与高

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-19 填-圆锥的体积
• 1995-全国卷文-24 解-圆柱中三棱锥的线面垂直与点面距离
• 1996-全国卷文-12 单-正方形折起的三棱锥体积