1994-全国卷文-19 填-圆锥的体积

本题导读

本题考查圆锥的体积，以及弦、弦心距、高之间的几何关系。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 设圆锥底面圆周上两点 $A$，$B$ 间的距离为 $2$，圆锥顶点到直线 $AB$ 的距离为 $\sqrt{3}$，$AB$ 和圆锥的轴的距离为 $1$，则该圆锥的体积为　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由弦长与弦心距求底面半径。
2. 由顶点到弦的距离与弦心距求高，再求体积。

✅【答案】

Success

$\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设底面圆心为 $O$，作 $OM\perp AB$ 于 $M$，则 $M$ 是 $AB$ 中点，$AM=1$，$OM=1$（$AB$ 到轴的距离）。底面半径 $R=OA=\sqrt{O{M}^2+A{M}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。设顶点为 $P$，则 $P$ 到 $AB$ 的距离为 $PM=\sqrt{3}$，在直角三角形 $POM$ 中，高 $h=PO=\sqrt{P{M}^2-O{M}^2}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$。故体积 $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times 2\times \sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥的体积

核心方法：弦 $AB=2$，弦心距（$AB$ 到轴距离）$=1$，故底面半径 $R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。作 $OM\perp AB$ 于 $M$，$PM$（顶点到 $AB$ 距离）$=\sqrt{3}$，高 $h=PO=\sqrt{P{M}^2-O{M}^2}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$。体积 $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times 2\times \sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$

避坑指南：圆锥轴截面与体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆锥的体积

结论推广：一般地，由轴截面定半径高求体积

方法推广：圆锥轴截面与体积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-10 单-圆锥的侧面展开与体积
• 1995-全国卷文-04 单-正方体外接球的表面积
• 1997-全国卷文-12 单-圆台的体积