1995-全国卷文-04 单-正方体外接球的表面积

本题导读

本题考查正方体的外接球，以及由全面积反求棱长后代入球的表面积公式。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 正方体的全面积是 $a^2$，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 ()

A.$\frac{\pi a^2}{3}$　　B.$\frac{\pi a^2}{2}$　　C.$2\pi a^2$　　D.$3\pi a^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由全面积求棱长。
2. 体对角线即球的直径，代入 $S=4\pi R^2$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设棱长为 $m$，则 $6m^2=a^2$，$m=\frac{a}{\sqrt{6}}$。正方体的体对角线长 $\sqrt{3}m=\sqrt{3}\cdot \frac{a}{\sqrt{6}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$ 就是外接球直径 $2R$，故 $R=\frac{a}{2\sqrt{2}}$。球表面积 $S=4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{a^2}{8}=\frac{\pi a^2}{2}$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体外接球的表面积

核心方法：棱 $m=\frac{a}{\sqrt{6}}$，体对角线 $\sqrt{3}m=\frac{a}{\sqrt{2}}$ 为直径，$S=4\pi R^2=\frac{\pi a^2}{2}$，选 B

避坑指南：对角线定直径

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材正方体与外接球

结论推广：一般地，正方体体对角线即外接球直径：$\sqrt{3}m=2R$

方法推广：对角线定直径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-08 单-长方体的外接球
• 1996-全国卷文-12 单-正方形折起的三棱锥体积
• 1996-全国卷文-10 单-圆锥的侧面展开与体积