1992-全国卷理-05 单-圆柱与球的表面积

本题导读

本题考查旋转体的结构特征与轴截面，以及圆柱的侧面积、底面积与全面积公式。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是 ()

A. 6 : 5　　　　　　　B. 5 : 4　　　　　　　C. 4 : 3　　　　　　　D. 3 : 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析圆柱的结构：设圆柱的底面半径为 $r$，高为 $h$。由于圆柱的轴截面是正方形，可知圆柱的高等于底面直径，即 $h=2r$。
2. 建立与球的关系：设球的半径为 $R$，则球的直径为 $2R$。根据“圆柱的高与球的直径相等”可知 $h=2R$。联立可得 $2r=2R⟹r=R$。
3. 计算各表面积并比对：分别写出圆柱全面积 $S_{\text{柱}}$ 与球表面积 $S_{\text{球}}$ 的公式，将变量统一为 $R$ 后求比值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 设圆柱的底面半径为 $r$，高为 $h$；球的半径为 $R$。

因为圆柱的轴截面是正方形，所以圆柱的高等于其底面直径： $h=2r$

又因为圆柱的高与球的直径相等，所以： $h=2R$

由以上两式可得： $2r=2R⟹r=R$ 即圆柱的底面半径、球的半径以及圆柱高的一半三者相等。

计算圆柱的全面积 $S_{\text{柱}}$（包含侧面积与两个底面积）： $S_{\text{柱}}=S_{\text{侧}}+2S_{\text{底}}=2\pi rh+2\pi r^2$ 将 $r=R$ 和 $h=2R$ 代入上式中： $S_{\text{柱}}=2\pi \cdot R\cdot (2R)+2\pi \cdot R^2=4\pi R^2+2\pi R^2=6\pi R^2$

计算球的表面积 $S_{\text{球}}$： $S_{\text{球}}=4\pi R^2$

求圆柱的全面积与球的表面积的比值： $\frac{S_{\text{柱}}}{S_{\text{球}}}=\frac{6\pi R^2}{4\pi R^2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆柱全面积公式 $S=2\pi r(r+h)$，球的表面积公式 $S=4\pi R^2$，圆柱轴截面的概念。
2. 核心方法：变量统一法。将所有空间几何体的独立参数化归到同一个核心变量（如球半径 $R$）下进行定量求解。
3. 避坑指南：容易混淆圆柱的“全面积”与“侧面积”。如果只计算了圆柱的侧面积 $4\pi R^2$，会得出比值为 $4:4=1:1$。务必注意全面积必须加上上、下两个底面的圆面积。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于空间几何体面积计算的标准基础题。取材于立体几何教材中关于“圆柱、圆锥、圆台和球”一章的课后综合练习题。
2. 结论推广：阿基米德在其著作《论球和圆柱》中曾证明过一个著名结论：当一个圆柱恰好外切于一个球时（此时圆柱的轴截面为正方形，且圆柱高、底面直径均与球直径相等），圆柱的全面积与球的表面积之比恒为 $3:2$，同时它们的体积之比也为 $3:2$。本题正是基于这一伟大数学定理编写而成的。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-05 单-圆柱与球的表面积比

• 1995-全国卷文-04 单-正方体外接球的表面积

• 1994-全国卷文-13 单-球的截面与表面积