1991-全国卷理-20 填-球的表面积

本题导读

本题考查球的性质与表面积公式，以及三条棱两两垂直的三棱锥几何特征。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 在球面上换有四个点 $P$、$A$、$B$、$C$，如果 $PA$、$PB$、$PC$ 两两互相垂直，且 $PA=PB=PC=a$.那么这个球面的面积是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 模型识别与补形：由于 $PA,PB,PC$ 两两互相垂直，且长度相等，这四个点构成的三棱锥 $P-ABC$ 可以看作是从一个边长为 $a$ 的正方体中截下的一个角。
2. 确定球的直径：该三棱锥的外接球与该正方体的外接球为同一个球。正方体的体对角线即为外接球的直径 $2R$。
3. 计算表面积：利用勾股定理求出体对角线长度，从而得到 $R^2$ 的代数式，最后代入球的表面积公式 $S=4\pi R^2$ 求解。

✅【答案】

Success

$3\pi a^2$

✍【详细解析】

Abstract

由题意可知， $PA,PB,PC$ 两两互相垂直，且 $PA=PB=PC=a$。 我们可以将以 $P$ 为顶点，$PA,PB,PC$ 为三条侧棱的三棱锥 $P-ABC$ 补形为一个完整的正方体，使得该正方体的棱长为 $a$。

根据空间几何体外接球的性质，三棱锥 $P-ABC$ 的四个顶点恰好也是该正方体的四个顶点。因此，三棱锥的外接球就是该正方体的外接球。

设外接球的半径为 $R$，则正方体的体对角线长度等于球的直径 $2R$。 由正方体的性质，体对角线长度为： $2R=\sqrt{P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=\sqrt{3}a$

两边平方得： $(2R{)}^2=3a^2⟹4R^2=3a^2$

根据球的表面积公式，该球面的面积为： $S=4\pi R^2=\pi \cdot (4R^2)=3\pi a^2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多面体外接球半径的求法，球的表面积公式。
2. 核心方法：补形法。将带有“两两垂直”特征的锥体或柱体补形为长方体或正方体，利用长方体体对角线公式 $(2R{)}^2=x^2+y^2+z^2$ 快速实现空间向平面的转化。
3. 避坑指南：不宜通过画三棱锥的底面外接圆、再作弦心距等繁琐步骤计算半径，那样容易出错。牢记“墙角模型”直接用长方体对角线性质。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何中“多面体与球”板块的经典结论考题。直接源于立体几何关于球的课后综合探究题，主要训练考生的空间补形思维。
2. 结论推广：
   • 一般化长方体结论：若三棱锥 $P-ABC$ 的三条侧棱 $PA,PB,PC$ 两两垂直，且长度分别为 $x,y,z$，则其外接球的表面积一般化通式为： $S=\pi (x^2+y^2+z^2)$ 将 $x=y=z=a$ 代入即得 $3\pi a^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-05 单-圆柱与球的表面积比
• 1992-全国卷理-05 单-圆柱与球的表面积
• 1992-三南-11 单-球冠的面积