1997-全国卷文-08 单-长方体的外接球

本题导读

本题考查长方体的外接球，以及由体对角线定球半径。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 长方体一个顶点上三条棱的长分别是 $3$，$4$，$5$，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是()

A. $20\sqrt{2}\pi$　　　　　　B. $25\sqrt{2}\pi$　　　　　　C. $50\pi$　　　　　　D. $200\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 长方体体对角线是外接球的直径。
2. 由对角线长求半径再求表面积。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

长方体的体对角线长为 $\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，它就是外接球的直径，故球半径 $R=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。球的表面积为 $4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{50}{4}=50\pi$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体的外接球

核心方法：对角线长 $\sqrt{3^2+4^2+5^2}=5\sqrt{2}$，球半径 $R=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，表面积 $4\pi R^2=50\pi$，选 C

避坑指南：体对角线为球直径

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材球与长方体

结论推广：一般地，长方体体对角线是外接球直径

方法推广：体对角线为球直径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-03 单-长方体的对角线长
• 2002-北京卷文-05 单-球的体积与表面积
• 2003-大纲文-12 单-正四面体外接球