1992-全国卷理-18 单-长方体的对角线

本题导读

本题考查长方体的结构特征（棱长、表面积、对角线），以及完全平方和公式。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 长方体的全面积为 11，十二条棱长度之和为 24，则这个长方体的一条对角线长为 ()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　　　　B. $\sqrt{14}$　　　　　　　　　C. 5　　　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何条件代数化：设长方体的长、宽、高分别为 $a,b,c$。
   • 十二条棱长之和为 24 $⟹4(a+b+c)=24⟹a+b+c=6$；
   • 全面积为 11 $⟹2(ab+bc+ca)=11$；
   • 一条体对角线长 $L=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。
2. 利用完全平方公式恒等变形：借用三元完全平方展开式 $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$，将已知的两个代数整体代入，直接求出 $a^2+b^2+c^2$ 的值。
3. 开方求出对角线：对结果开算术平方根即为所求。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 设长方体的长、宽、高分别为 $a,b,c$。

根据长方体的结构性质，列出题目给出的几何条件方程：

1. 长方体共有 12 条棱，分为 4 组长、宽、高，其棱长总和为： 4(a + b + c) = 24 \implies a + b + c = 6 \tag{1}
2. 长方体的全面积由 6 个面组成（两两相等），其全面积为： 2(ab + bc + ca) = 11 \tag{2}
3. 长方体的体对角线长度公式为： L = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \tag{3}

利用多项式的完全平方和公式： $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

移项可得： $a^2+b^2+c^2=(a+b+c{)}^2-2(ab+bc+ca)$

将 (1) 式中的 $a+b+c=6$ 和 (2) 式中的 $2(ab+bc+ca)=11$ 整体代入上式中： $a^2+b^2+c^2=6^2-11$ $a^2+b^2+c^2=36-11=25$

将此结果代入对角线长度公式 (3) 中： $L=\sqrt{25}=5$

因此，这个长方体的一条对角线长为 5。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长方体空间几何量（棱长和、表面积、对角线）的代数表示，完全平方公式 $(a+b+c{)}^2$ 的灵活变形。
2. 核心方法：“整体代换”法。本题中千万不要尝试去解出 $a,b,c$ 的具体数值（实际上方程个数少于未知数个数，无法唯一确定单个棱长），只需将目标不变量整体组合即可。
3. 避坑指南：容易误把“12条棱长之和”记错成 $a+b+c=24$ 或者 $2(a+b+c)=24$。务必牢记长方体每种棱各有 4 条，系数为 4。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于空间立体几何中基本量计算的经典老题。取材于立体几何中关于“长方体的性质”与初中代数乘法公式交汇的典型习题。
2. 结论推广：对所有长方体，其几何要素间恒满足以下不变量关系： ${\left(\frac{\text{棱长和}}{4}\right)}^2=(\text{对角线长}{)}^2+\text{全面积}$ 利用该推广结论，本题可直接口算： $6^2=L^2+11⟹L^2=25⟹L=5$，实现考场。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-03 单-长方体的对角线长

• 1997-全国卷文-08 单-长方体的外接球

• 2000-新课标卷文-03 单-长方体的对角线长