1990-上海卷-16 单-长方体的对角线

本题导读

本题考查长方体的结构特征，以及空间两点间的距离（体对角线公式）。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 设过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是 $a,b,c$，那么这个长方体的对角线长是 ()

A. $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$　　B. $\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}$　　C. $\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$　　D. $\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本元代数化：设长方体过该顶点的三条棱长分别为 $x,y,z$。长方体的体对角线长公式为 $L=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。
2. 建立方程组：过同一个顶点的三个面是两两互相垂直的矩形。利用勾股定理，可以将三个面的对角线长 $a,b,c$ 与三条棱长建立对应关系：
   • $x^2+y^2=a^2$
   • $y^2+z^2=b^2$
   • $z^2+x^2=c^2$
3. 整体求和变形：将三个方程两两相加，整体求出 $x^2+y^2+z^2$ 的代数表达式，再开方即可得到体对角线长。
4. 快速（特殊值法）：可以将长方体特殊化为正方体，设棱长为 1，直接求出 $a,b,c$ 和体对角线值，代入选项验证。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解法一（传统通法）： 设该长方体过同一个顶点的三条棱长分别为 $x,y,z$。 过同一个顶点的三个面上的对角线长分别为 $a,b,c$，根据平面勾股定理有： $\{\begin{array}{ll}{x}^2+y^2=a^2& \text{(1)}\\ y^2+z^2=b^2& \text{(2)}\\ z^2+x^2=c^2& \text{(3)}\end{array}$

将方程①、②、③的两边分别相加，得： $(x^2+y^2)+(y^2+z^2)+(z^2+x^2)=a^2+b^2+c^2$ $2(x^2+y^2+z^2)=a^2+b^2+c^2$

两边同除以 2，得长方体三棱平方和为： $x^2+y^2+z^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

根据空间勾股定理，长方体的体对角线长 $L$ 满足 $L=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$， 所以代入可得： $L=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}$

解法二（特殊化法）： 设该长方体为一个特殊的正方体，其棱长 $x=y=z=1$。

• 根据平面勾股定理，每个面的对角线长都相等： $a=b=c=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
• 根据空间勾股定理，正方体的体对角线长为： $L=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$。

将 $a=\sqrt{2},b=\sqrt{2},c=\sqrt{2}$ 分别代入四个选项中，看哪一个选项的计算结果等于 $\sqrt{3}$：

• (A) $\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{2+2+2}=\sqrt{6}\ne \sqrt{3}$ （排除）；
• (B) $\sqrt{\frac{(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}{2}}=\sqrt{\frac{2+2+2}{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}$ （符合）；
• (C) $\sqrt{\frac{(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}{3}}=\sqrt{\frac{6}{3}}=\sqrt{2}\ne \sqrt{3}$ （排除）；
• (D) $\frac{\sqrt{6}}{2}\ne \sqrt{3}$ （排除）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长方体中面对角线与体对角线的推广包含律，多项式对称方程组的整体求和运算技巧。
2. 核心方法：
   • 对称方程整体求和法：面对类似 $x^2+y^2,y^2+z^2,z^2+x^2$ 的轮换对称方程组，千万不要去消元解单个变量，直接“三式相除”或“三式相加”从整体宏观项入手，能极速降维。
   • 特殊值化归法：选择题中带有抽象字母参数（如 $a,b,c$）且对图形没有特定形状限制时，直接降维成正方体、等边三角形等特殊图形，是考场得分的黄金策略。
3. 避坑指南：
   • 公式记忆模糊误选 (A)：部分考生隐约记得长方体对角线公式里有平方和开方，看到 (A) 长的很像标准体对角线公式 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，便误以为字母互换也成立。必须分清题干中 $a,b,c$ 是面的对角线，而不是棱长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何中考查空间度量关系的经典选择题，直接源自教材中“长方体对角线定理”的性质延伸，用以训练学生在三维空间中多层次嵌套使用勾股定理的能力。
2. 结论推广：若将本模型推广至更一般的**非直角平行六面体（三斜拉体）**中，若过同一顶点的三条不共线外延边长为 $x,y,z$，两两夹角为 $\alpha ,\beta ,\gamma$，则其体对角线与面对角线的平方关系将引入余弦交叉项 $2xyz\cos \theta$。而长方体（夹角全为 $90^{\circ }$）正是这一空间向量投影中余弦项全部坍塌为 0 后的最代数形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-18 单-长方体的对角线
• 1992-全国文-18 单-长方体的对角线
• 1991-上海-13 单-长方体的体积