1991-上海-13 单-长方体的体积

本题导读

本题考查长方体对角线与棱的夹角关系，以及体积计算。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 设长方体的对角线的长度是 $4$，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是 $60^{\circ }$，则此长方体的体积是()

A. $\frac{32}{72\sqrt{3}}$　　　　　　　　B. $8\sqrt{2}$　　　　　　　　C. $8\sqrt{3}$　　　　　　　　D. $16\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

设三棱为 $a$、$b$、$c$，用对角线长与夹角余弦列方程求棱长。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设三棱长为 $a$、$b$、$c$，对角线 $l=4$，则 $a^2+b^2+c^2=16$。过每一顶点有两条棱与对角线成 $60^{\circ }$，说明 $a=l\cos 60^{\circ }=2$、$b=l\cos 60^{\circ }=2$，故 $c=\sqrt{16-4-4}=2\sqrt{2}$。体积 $V=abc=2\cdot 2\cdot 2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体的体积

核心方法：利用长方体对角线与棱的夹角关系列方程求棱长，再求体积。

避坑指南：空间对角线夹角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：长方体对角线与棱的夹角关系可列方程。

结论推广：长方体对角线长 √(a²+b²+c²)。

方法推广：设棱长列方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-18 单-长方体的对角线
• 1991-全国文-20 填-线面角与对角线
• 1999-全国卷文-22 解-正四棱柱的截面与体积