1991-全国文-20 填-线面角与对角线

本题导读

本题考查线面角与对角线，以及直线与平面夹角的余弦等于射影长比线长。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，已知顶点 $A$ 上三条棱长分别是 $\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$ 和 $2$.如果对角线 $A{C}_1$ 与过点 $A$ 的相邻三个面所成的角分别是 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，那么 $\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

求对角线长与三个面上的射影长，套线面角余弦公式。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

空间对角线 $A{C}_1$ 的长为 $\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2+2^2}=\sqrt{2+3+4}=3$。直线与平面夹角的余弦等于该线在此平面上的射影长除以线长。对应三条棱长 $\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$2$ 的三个相邻面，射影长分别为 $\sqrt{9-2}=\sqrt{7}$、$\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$、$\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$。故 $\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}+\sqrt{5}}{3}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面角与对角线

核心方法：对角线长 3，射影长 $\sqrt{7},\sqrt{6},\sqrt{5}$，$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =\frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{3}$

避坑指南：射影求线面角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面角与对角线

结论推广：直线与平面夹角的余弦 = 射影长/线长

方法推广：射影求角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-27 解-直三棱柱的线线平行与点到直线的距离
• 1998-全国卷文-18 填-直四棱柱中的线线垂直
• 1996-全国卷文-23 解-正三棱柱中的垂直与体积