1993-新高考文-14 单-直角梯形旋转体的全面积与体积

本题导读

本题考查旋转体的全面积与体积，以及直角梯形绕下底旋转的组合体。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 直角梯形的一个内角为 $45^{\circ }$，下底长为上底长的 $\frac{3}{2}$，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为 $(5+\sqrt{2})\pi$，则旋转体的体积为 ()

A. $2\pi$　　　　　　B. $\frac{4+\sqrt{2}}{3}\pi$　　　　　　C. $\frac{5+\sqrt{2}}{3}\pi$　　　　　　D. $\frac{7}{3}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

设上底 $a$、下底 $\frac{3a}{2}$、高 $a$，旋转体为圆柱（高 $a$、半径 $a$）加圆锥（母线与高成 $45^{\circ }$）。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设上底长为 $a$，则下底 $\frac{3a}{2}$，高 $h=\frac{3a}{2}-a=\frac{a}{2}$…… 由内角 $45^{\circ }$ 知斜腰在水平方向投影等于高。旋转体 = 半径 $r=h=\frac{a}{2}$ 的圆柱（高 $a$）加上半径 $r$ 的圆锥（高 $\frac{a}{2}$，母线 $\sqrt{2}r$）。全面积 $S=2\pi rh+\pi r^2+\pi r\cdot \sqrt{2}r=\pi \left(2\cdot \frac{a}{2}\cdot a+\frac{a^2}{4}+\sqrt{2}\cdot \frac{a^2}{4}\right)=\pi a^2\left(1+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{5+\sqrt{2}}{4}\pi a^2$。令 $S=(5+\sqrt{2})\pi$，得 $a^2=4$，$a=2$。体积 $V=\pi r^{2}h+\frac{1}{3}\pi r^2\cdot \frac{a}{2}=\pi \cdot 1\cdot 2+\frac{1}{3}\pi \cdot 1\cdot 1=\frac{7}{3}\pi$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直角梯形旋转体的全面积与体积

核心方法：半径 $r=\frac{a}{2}$，全面积 $\pi a^2\frac{5+\sqrt{2}}{4}=(5+\sqrt{2})\pi$ 定 $a=2$，$V=\frac{7\pi }{3}$

避坑指南：旋转体拆为圆柱加圆锥，全面积反求尺寸再算体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于旋转体的组合

结论推广：直角梯形绕底旋转=圆柱+圆锥（或挖去）

方法推广：全面积方程反求尺寸是常用桥梁

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-19 填-圆锥的体积
• 1996-全国卷文-10 单-圆锥的侧面展开与体积
• 1998-全国卷文-09 单-棱台中截面面积的运算