1988-全国文-19 填-旋转体的体积

本题导读

本题考查直角三角形绕斜边旋转所得旋转体的体积。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(文)） 一个直角三角形的两条直角边的长分别为 $3$ cm 和 $4$ cm，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积为　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

斜边上的高为旋转半径，旋转体是两个圆锥。

✅【答案】

Success

$\frac{48}{5}\pi$ cm${}^3$

✍【详细解析】

Abstract

斜边长 $\sqrt{3^2+4^2}=5$。斜边上的高 $h=\frac{3\times 4}{5}=\frac{12}{5}$。旋转体是两个圆锥，底面半径 $h=\frac{12}{5}$，高分别为斜边被高分成两段。体积 $V=\frac{1}{3}\pi h^2\cdot 5=\frac{1}{3}\pi (\frac{12}{5}{)}^2\cdot 5=\frac{48}{5}\pi$ cm${}^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体的体积

核心方法：直角三角形绕斜边旋转成两个圆锥。

避坑指南：体积为 $\frac{48}{5}\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：旋转体体积。

结论推广：圆锥体积。

方法推广：绕斜边旋转。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1991-上海-27 解-旋转体的体积与最值
• 1993-新高考文-14 单-直角梯形旋转体的全面积与体积
• 1996-上海文-18A 填-旋转体的体积