1977-浙江-12 解-旋转体体积

本题导读

本题考查定积分求旋转体体积（参考题）。核心在于 $V={\int }_a^b\pi y^{2}dx$。

📌【题干】

Question

（1977年浙江卷） 将抛物线 $y=x^2$，直线 $x=2$ 与 $x$ 轴围成的曲边三角形，绕 $x$ 轴旋转一周形成一个旋转体，求此旋转体的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

$V={\int }_0^2\pi y^{2}dx={\int }_0^2\pi x^{4}dx$，牛顿-莱布尼茨公式算出。

✅【答案】

Success

$\frac{32\pi }{5}$

✍【详细解析】

Abstract

旋转体的体积 $V={\int }_0^2\pi y^{2}dx={\int }_0^2\pi x^{4}dx={\frac{\pi x^5}{5}|}_0^2=\frac{32\pi }{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体体积

核心方法：定积分旋转体

避坑指南：$V={\int }_0^2\pi y^{2}dx={\int }_0^2\pi x^{4}dx$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：体积

结论推广：$\frac{32\pi }{5}$

方法推广：定积分

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-13 填-旋转体的体积
• 1988-全国文-19 填-旋转体的体积