2000-广东卷理-12 单-旋转体的结构特征

本题导读

本题为 2000 年广东理科卷选择题的压轴题。核心考查空间想象力与旋转体体积的代数计算。解题难点在于正确识别线段 $OA$ 绕轴旋转一周所产生的曲面的几何本质，并通过体积相等条件建立关于夹角函数的代数方程。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 如图，$OA$ 是圆锥底面中心 $O$ 到母线的垂线，$OA$ 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为()

A. $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$　　　　　　D. $\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出轴截面：设圆锥顶点为 $P$，高为 $PO$，母线为 $PB$，$OA\perp PB$ 于 $A$。设母线与轴的夹角 $\angle OPA=\alpha$。
2. 分析旋转几何体：过 $A$ 作 $AC\perp PO$ 于 $C$。线段 $OA$ 绕轴 $PO$ 旋转一周所形成的曲面，其上方部分由圆锥 $P-A$ 和圆锥 $O-A$ 拼合而成。
3. 建立体积方程：上部分体积 $V_{\text{上}}=\frac{1}{2}{V}_{\text{总}}$。将相关线段用高 $h$ 和 $\alpha$ 的三角函数表示，带入体积公式求解 $\cos \alpha$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

作圆锥的轴截面 $PBD$（其中 $P$ 为顶点，$O$ 为底面中心，$PB$ 为母线），则 $PO$ 为圆锥的轴。 过 $O$ 作 $OA\perp PB$ 于 $A$。设母线与轴的夹角 $\angle OPA=\alpha$。 设圆锥的高 $PO=h$，底面半径 $OB=R$。在 $\text{Rt}△POB$ 中，$R=h\tan \alpha$。

过 $A$ 作 $AC\perp PO$ 于 $C$。 当线段 $OA$ 绕轴 $PO$ 旋转一周时，该旋转曲面将大圆锥分成了上下两部分： 上部分几何体由正立的圆锥 $P-A$ 与倒立的圆锥 $O-A$ 拼合而成。 这两部分底面相同（半径均为 $AC$），高之和为 $PC+CO=PO=h$。

所以上部分的体积为： $V_{\text{上}}=\frac{1}{3}\pi \cdot A{C}^2\cdot PC+\frac{1}{3}\pi \cdot A{C}^2\cdot CO=\frac{1}{3}\pi \cdot A{C}^2\cdot h$

在 $\text{Rt}△POA$ 中，$\angle PAO=90^{\circ }$： $PA=PO\cdot \cos \alpha =h\cos \alpha$

在 $\text{Rt}△PCA$ 中，$\angle PCA=90^{\circ }$： $AC=PA\cdot \sin \alpha =h\cos \alpha \sin \alpha$

将 $AC$ 代入 $V_{\text{上}}$ 的表达式中： $V_{\text{上}}=\frac{1}{3}\pi \cdot (h\sin \alpha \cos \alpha {)}^2\cdot h=\frac{1}{3}\pi h^3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$

大圆锥的总体积为： $V_{\text{总}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi {\left(h\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^{2}h=\frac{1}{3}\pi h^3\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$

根据题意，$V_{\text{上}}=\frac{1}{2}{V}_{\text{总}}$，代入体积公式： $\frac{1}{3}\pi h^3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\pi h^3\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }\right)$

两边约去非零公因式 $\frac{1}{3}\pi h^3{\sin }^2\alpha$ 得： ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{2{\cos }^2\alpha }⟹2{\cos }^4\alpha =1⟹{\cos }^4\alpha =\frac{1}{2}$

由于 $\alpha$ 为锐角，$\cos \alpha >0$，两边开四次方根得： $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

正确选项为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：旋转体体积的同底割补化简（$V=\frac{1}{3}\pi r^2{h}_1+\frac{1}{3}\pi r^2{h}_2=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$）；直角三角形中的三角函数边长投影链。
2. 核心方法：等积变形法。上部几何体由两个同底的圆锥构成，其体积等价于一个“高为 $h$、底面半径为 $AC$”的单一圆锥体积。
3. 避坑指南：容易把上部几何体的体积误认为只是小圆锥 $P-A$，从而漏掉下面由 $OA$ 旋转出的隐形锥体。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由圆锥、圆柱组合体体积问题改编而来的多维空间图形旋转题。
2. 结论推广：若直角三角形的一条直角边上的高线绕另一条直角边（旋转轴）旋转，所形成的曲面将原锥体分为体积两部分，设上部与总体积之比为 $k$，则母线与轴夹角的余弦值满足关系式 $\cos \alpha =\sqrt[4]{k}$。本题中等分体积即 $k=\frac{1}{2}$，故 $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-13 填-旋转体的体积
• 1988-全国文-19 填-旋转体的体积
• 1952-全国-11 填-直圆锥体积