1996-上海文-18A 填-旋转体的体积

本题导读

本题考查扇形卷成圆锥后的容积，核心在于由弧长得底面半径，再用勾股定理求高。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(文)） （选做题，A 组与 B 组二选一）把半径为 $3$ cm，中心角为 $\frac{2\pi }{3}$ 的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为　　　cm³（结果保留 $\pi$）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由扇形弧长得圆锥底面半径。
2. 由母线、半径用勾股定理求高。
3. 用圆锥体积公式求容积。

✅【答案】

Success

$\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$

✍【详细解析】

Abstract

扇形半径即圆锥母线 $l=3$，扇形弧长 $=\frac{2\pi }{3}\times 3=2\pi$，此即圆锥底面周长，故底面半径 $r=\frac{2\pi }{2\pi }=1$。圆锥高 $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$。故容积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times 1\times 2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体的体积

核心方法：扇形半径 $3$、圆心角 $\frac{2\pi }{3}$，弧长 $=2\pi r=3\times \frac{2\pi }{3}=2\pi$，故底面半径 $r=1$，母线 $3$，高 $h=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$，容积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$

避坑指南：扇形卷圆锥求体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材旋转体

结论推广：一般地，由扇形弧长得底面半径，再求体积

方法推广：扇形卷圆锥求体积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-20B 解-旋转体体积与面积
• 1996-上海理-18A 填-旋转体的体积比
• 1997-上海文-15A 填-圆柱体积与水面下降