1995-全国卷理-17 填-球内接圆台的体积之比

本题导读

本题考查球的内接几何体与球的体积公式，以及圆台的体积公式。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为 $\frac{\pi }{3}$，则圆台的体积与球体积之比为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

截面化简：作过圆台轴线的平面拦截面。球心在圆台下底面圆心处，截面图形为一个半圆内接一个等腰梯形。 设定基本量：设球的半径为 $R$。由于下底面过球心，圆台的下底面半径 $R_2=R$。 关联上底半径与高：在轴截面（等腰梯形）中，利用母线与底面成 $\frac{\pi }{3}$ 的条件，结合勾股定理，建立圆台上底面半径 $R_1$、高 $h$ 与球半径 $R$ 的方程组。 计算体积比：利用圆台体积公式 $V_{\text{台}}=\frac{1}{3}\pi h(R_1^2+R_2^2+R_1{R}_2)$ 和球体积公式 $V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi R^3$ 求出比值。

✅【答案】

Success

$\frac{7\sqrt{3}}{32}$

✍【详细解析】

Abstract

作圆台的轴截面，如图所示，截面为一个等腰梯形内接于半径为 $R$ 的大圆。 因为下底面过球心，所以下底面半径 $R_2=R$。球心 $O$ 恰好是下底面的中点。

设圆台的高为 $h$，上底面半径为 $R_1$。 在轴截面中，从上底面圆周的一点向底面引垂线，构成一个直角三角形： 由于母线与底面所成的角为 $\frac{\pi }{3}$，则： $\tan \frac{\pi }{3}=\frac{h}{R_2-R_1}⟹\sqrt{3}=\frac{h}{R-R_1}$ 从而得到： $h=\sqrt{3}(R-R_1)\text{(1)}$

同时，上底面圆周上的点到球心 $O$ 的距离等于球半径 $R$。由勾股定理可得： $R_1^2+h^2=R^2\text{(2)}$

将①式代入②式中消去 $h$： $R_1^2+3(R-R_1{)}^2=R^2$ $R_1^2+3(R^2-2R{R}_1+R_1^2)=R^2$ $4R_1^2-6R{R}_1+2R^2=0$ 两边同时除以 2 得： $2R_1^2-3R{R}_1+R^2=0$ 因式分解得： $(2R_1-R)(R_1-R)=0$

因为是圆台，上底面半径必须小于下底面半径，即 $R_1<R$，故 $R_1=R$ 舍去。 所以： $R_1=\frac{1}{2}R$

将其代入①式求得圆台的高： $h=\sqrt{3}\left(R-\frac{1}{2}R\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}R$

计算体积： 圆台的体积为： $V_{\text{台}}=\frac{1}{3}\pi h(R_1^2+R_2^2+R_1{R}_2)=\frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}R\right)\left[{\left(\frac{1}{2}R\right)}^2+R^2+\left(\frac{1}{2}R\right)R\right]$ $V_{\text{台}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\pi R\left[\frac{1}{4}{R}^2+R^2+\frac{1}{2}{R}^2\right]=\frac{\sqrt{3}}{6}\pi R\cdot \frac{7}{4}{R}^2=\frac{7\sqrt{3}}{24}\pi R^3$

球的体积为： $V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi R^3$

因此，圆台体积与球体积之比为： $\frac{V_{\text{台}}}{V_{\text{球}}}=\frac{\frac{7\sqrt{3}}{24}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{7\sqrt{3}}{24}\times \frac{3}{4}=\frac{7\sqrt{3}}{32}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合体的结构特征、旋转体的体积计算、空间图形的平面化转化。 核心方法：“轴截面法”。解决旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的组合问题，最标准的突破口就是画出通过轴线的平面截面图，将空间问题转化为平面几何（直角三角形与圆）来处理。 避坑指南：

• 求解一元二次方程时会得到两个根（$R_1=\frac{1}{2}R$ 或 $R_1=R$），必须结合“圆台”的实际几何意义（上底小于下底）进行合理舍选。
• 圆台体积公式中括号内是 $R_1^2+R_2^2+R_1{R}_2$，中间项没有“2倍”，极易与完全平方公式混淆而导致算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题拓展自教材中关于球的接切问题以及圆台体积计算的常规习题。这类问题在高考中属于中档偏难的立体几何客观题，重在考查几何常量之间的代数关联。 结论推广： 若一个圆台内接于半径为 $R$ 的球，且下底面过球心（即下底面半径 $R_2=R$），母线与底面所成角为 $\theta$（$\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$），则其上底半径 $R_1$ 与高 $h$ 满足通用关系： $R_1=\frac{{\tan }^2\theta -1}{{\tan }^2\theta +1}R=R\cos 2\alpha (\text{其中 }\tan \alpha =\frac{1}{\tan \theta })$ 通过这个推广公式，可以在已知任意母线倾斜角的情况下，直接一步锁定向心几何特征，从而极大提升解决此类球体嵌套问题的速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-10 单-圆锥的侧面展开与体积
• 1996-上海文-18A 填-旋转体的体积
• 1997-全国卷文-12 单-圆台的体积