1991-三南-03 单-正六棱锥的体积

本题导读

本题考查正六棱锥的体积计算，以及正六边形外接圆半径与边长的关系。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 设正六棱锥的底面边长为 $1$，侧棱长为 $\sqrt{5}$，那么它的体积为()

A. $6\sqrt{3}$　　　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

由正六边形外接圆半径等于边长求出高，再用底面积与高求体积。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

正六边形外接圆半径等于边长，故底面中心到任一顶点距离为 $1$。设高为 $h$，由侧棱长 $\sqrt{5}$ 得 $h^2+1^2=5$，故 $h=2$。底面面积 $S=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，体积 $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正六棱锥的体积

核心方法：正六边形外接圆半径=边长=1，高 h=√(侧棱²−1²)=2，底面积=6·(√3/4)=3√3/2，V=(1/3)Sh=√3。

避坑指南：棱锥体积公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正六棱锥底面中心到顶点距离等于边长是正多边形性质。

结论推广：正n棱锥底面为正n边形，外接圆半径与边长有固定关系。

方法推广：锥体体积 V=(1/3)Sh 通用，关键是求高与底面积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-05 单-正棱锥的存在性判定
• 1992-全国文-26 解-四棱锥的体积
• 1997-上海文-14A 填-正四棱锥的侧面积