1990-全国文-20 填-三棱柱的截面分体积

本题导读

本题考查三棱柱被截面分割后的体积比。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） 如图，三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，若 $E$、$F$ 分别为 $AB$、$AC$ 的中点，平面 $E{B}_1{C}_{1}F$ 将三棱柱分成体积为 $V_1$、$V_2$ 的两部分，那么 $V_1:V_2=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

截面下方是三棱台，用体积公式或等积变形求体积比。

✅【答案】

Success

$7:5$

✍【详细解析】

Abstract

设三棱柱底面积 $S$、高 $h$，则 $V_{\text{柱}}=Sh$。截面下方 $AEF-A_1{B}_1{C}_1$ 是三棱台，其上底面积 $\frac{1}{4}S$、下底 $S$，体积 $=\frac{h}{3}\left(S+\frac{S}{4}+\sqrt{S\cdot \frac{S}{4}}\right)=\frac{h}{3}\cdot \frac{7S}{4}=\frac{7Sh}{12}$。故 $V_1:V_2=\frac{7}{12}:\frac{5}{12}=7:5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱柱的截面分体积

核心方法：用棱柱体积与截面分割关系求体积比。

避坑指南：体积分割

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：截面分割体积用体积比。

结论推广：棱柱体积 V=Sh。

方法推广：两部分体积比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1991-三南-23 填-斜三棱柱截面分体积
• 1991-三南-03 单-正六棱锥的体积
• 1992-上海-24 解-圆锥的体积与二面角