1992-上海-24 解-圆锥的体积与二面角

本题导读

本题考查圆锥的体积与二面角。核心在于用三垂线定理找到二面角的平面角。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） 如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形 $SAB$，$Q$ 为底面圆周上一点.(1)如果 $QB$ 的中点为 $C$，$OH\perp SC$，求证 $OH\perp$ 平面 $SBQ$；(2)如果 $AB=4$，求此圆锥的体积；(3)如果二面角 $A-SB-Q$ 的大小为 $\alpha$，且 $\tan \alpha =\sqrt{3}$，求 $\angle AOQ$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）证线面垂直；（2）由 $AB=4$ 得底面半径与高，代入体积公式；（3）由二面角正切定 $\alpha$。

✅【答案】

Success

(1)略；(2)$V=\frac{8\pi }{3}$；(3)$\angle AOQ=60^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $OH\perp SC$ 及 $OC\perp BQ$（$C$ 为 $BQ$ 中点，等腰底边中线即高）、$SO\perp$ 底面，结合三垂线定理可证 $OH\perp$ 平面 $SBQ$。（2）轴截面为等腰直角三角形且斜边 $AB=4$，故底面半径 $r=2$，圆锥高 $SO=2$，体积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 4\cdot 2=\frac{8\pi }{3}$。（3）由二面角 $A-SB-Q$ 的平面角正切 $\tan \alpha =\sqrt{3}$，得 $\alpha =60^{\circ }$，对应 $\angle AOQ=60^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥的体积与二面角

核心方法：（1）证 $QB\perp$ 平面 $SOC$；（2）$AB=4$，$SO=2$，$V=\frac{8}{3}\pi$；（3）$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\alpha =60^{\circ }$

避坑指南：三垂线定理与二面角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥的体积与二面角

结论推广：三垂线定理找二面角平面角

方法推广：三垂线定理

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-23 解-正三棱柱中的垂直与体积
• 1994-全国卷文-23 解-正三棱柱中的平行与射影
• 1993-旧高考文-27 解-直三棱柱的线线平行与点到直线的距离