1990-全国文-23 解-空间向量求二面角

本题导读

本题考查二面角的求法。核心在于建立空间直角坐标系，用向量法求两平面法向量的夹角。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） 如图，在三棱锥 $S-ABC$ 中，$SA\perp$ 底面 $ABC$，$AB\perp BC$.$DE$ 垂直平分 $SC$，且分别交 $AC$、$SC$ 于 $D$、$E$.又 $SA=AB$，$SB=BC$.求以 $BD$ 为棱，以 $BDE$ 与 $BDC$ 为面的二面角的度数.

🔍【思路分析】

破题导航

建系设坐标，求出两平面的法向量，用数量积求二面角。

✅【答案】

Success

$60^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

取长度单位使 $AB=SA=1$。以 $B$ 为原点建系：$B=(0,0,0)$，$A=(1,0,0)$，$C=(0,\sqrt{2},0)$，$S=(1,0,1)$。因 $DE$ 垂直平分 $SC$，$E$ 是 $SC$ 中点，$E=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$。设 $D=(1-t,t\sqrt{2},0)$，由 $DS=DC$ 得 $t=\frac{1}{3}$，故 $D=\left(\frac{2}{3},\frac{\sqrt{2}}{3},0\right)$。平面 $BDC$ 即底面，法向量 ${\mathbf{n}}_2=(0,0,1)$。平面 $BDE$ 由 $\overrightarrow{BD}=(2,\sqrt{2},0)$ 与 $\overrightarrow{BE}=(1,\sqrt{2},1)$ 张成，法向量 ${\mathbf{n}}_1=(2,\sqrt{2},0)\times (1,\sqrt{2},1)=(\sqrt{2},-2,\sqrt{2})$。二面角余弦 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+4+2}}=\frac{1}{2}$，故 $\theta =60^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量求二面角

核心方法：建空间直角坐标系，用向量法求二面角。

避坑指南：空间向量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量求二面角是通法。

结论推广：二面角余弦=法向量夹角余弦。

方法推广：正确建系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1993-上海-24 解-二面角与线面角的综合
• 1992-上海-24 解-圆锥的体积与二面角
• 1994-上海-23 解-二面角与点到平面的距离