1989-全国文-18 填-二面角的大小

本题导读

本题考查二面角的求法，利用单位向量与点积。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(文)） 如图，$P$ 是二面角 $\alpha -AB-\beta$ 棱 $AB$ 上的一点，分别在 $\alpha$，$\beta$ 上引射线 $PM$，$PN$，如果 $\angle BPM=\angle BPN=45^{\circ }$，$\angle MPN=60^{\circ }$，那么二面角 $\alpha -AB-\beta$ 的大小是　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

取单位向量沿棱与垂直棱方向，用点积求二面角余弦。

✅【答案】

Success

$90^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

取单位向量 $\mathbf{e}$ 沿棱 $PB$ 指向 $B$，取单位向量 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 分别垂直 $PB$ 且位于面 $\alpha ,\beta$ 内。设二面角为 $\phi$，则 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\cos \phi$。两射线方向单位向量 $\mathbf{m}=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{e}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{u}$，$\mathbf{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{e}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{v}$。故 $\cos 60^{\circ }=\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \phi$，得 $\cos \phi =0$，$\phi =90^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角的大小

核心方法：用向量法求二面角的余弦。

避坑指南：向量法求二面角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二面角用向量点积。

结论推广：cosφ=u·v。

方法推广：单位向量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-23 解-空间向量求二面角
• 1991-上海-24 解-线面角与二面角的求法
• 1991-全国文-07 单-二面角与三角形的心