1991-全国卷理-23 解-点到平面的距离

本题导读

本题考查点到平面的距离、空间几何体的体积（等体积法）。核心在于等体积转换法（$V_{B-EFG}=V_{G-BEF}$）、空间向量坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 已知 $ABCD$ 是边长为 4 的正方形，$E$、$F$ 分别是 $AB$、$AD$ 的中点，$GC$ 垂直于 $ABCD$ 所在的平面，且 $GC=2$.求点 $B$ 到平面 $EFG$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等体积法思维：设点 $B$ 到平面 $EFG$ 的距离为 $h$。连接 $BE,BF,BG$，构造三棱锥 $B-EFG$。其体积可表示为 $V_{B-EFG}=\frac{1}{3}{S}_{△EFG}\cdot h$。
2. 寻找转换基准：该三棱锥亦可视为以平面 $BEF$ 为底、 $G$ 为顶点的三棱锥 $G-BEF$。由于 $GC\perp$ 平面 $ABCD$，故三棱锥 $G-BEF$ 的高即为 $GC=2$。
3. 面积与距离计算：分别求出 $△BEF$ 的面积和 $△EFG$ 的三边长（利用勾股定理），通过海伦公式或射影法求出 $S_{△EFG}$，最后由 $V_{B-EFG}=V_{G-BEF}$ 反解出 $h$。

✅【答案】

Success

$\frac{4\sqrt{11}}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

解法一（等体积法）： 设点 $B$ 到平面 $EFG$ 的距离为 $h$。 根据三棱锥的体积可换底变形得： $V_{B-EFG}=V_{G-BEF}$

1. 计算三棱锥 $G-BEF$ 的体积： 底面 $△BEF$ 在正方形 $ABCD$ 内。 因为 $ABCD$ 是边长为 4 的正方形， $E$ 为 $AB$ 的中点， 所以 $BE=2$， $△BEF$ 中 $BE$ 边上的高即为 $AD$ 的长 4。 故底面积为： $S_{△BEF}=\frac{1}{12}\times BE\times AD=\frac{1}{2}\times 2\times 4=4$ （修正：$△BEF$ 的底 $BE=2$， $F$ 到 $AB$ 的距离为 $AD=4$，故面积为 $\frac{1}{2}\times 2\times 4=4$）

   因为 $GC\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $GC$ 为三棱锥 $G-BEF$ 的高， $GC=2$。 $V_{G-BEF}=\frac{1}{3}\times S_{△BEF}\times GC=\frac{1}{3}\times 4\times 2=\frac{8}{3}$

2. 计算 $△EFG$ 的面积： 在 Rt$△AEF$ 中， $AE=AF=2⟹EF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。 在 Rt$△BCG$ 中， $BC=4,GC=2⟹BG=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。 在 Rt$△CE$ 中（连接 $CE$）， $CE=\sqrt{B{C}^2+B{E}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$。 由于 $GC\perp$ 平面 $ABCD$，故 $GC\perp CE$，在 Rt$△GCE$ 中： $EG=\sqrt{C{E}^2+G{C}^2}=\sqrt{20+2^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ 同理，在 Rt$△CDF$ 中（连接 $CF$）， $CF=\sqrt{C{D}^2+D{F}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$。 由于 $GC\perp CF$，在 Rt$△GCF$ 中： $FG=\sqrt{C{F}^2+G{C}^2}=\sqrt{20+2^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

   由此可知， $△EFG$ 是以 $EG=FG=2\sqrt{6}$ 为腰， $EF=2\sqrt{2}$ 为底的等腰三角形。 取 $EF$ 的中点 $M$，连接 $GM$，则 $GM\perp EF$。 $EM=\frac{1}{2}EF=\sqrt{2}$ 在 Rt$△EMG$ 中，高 $GM$ 为： $GM=\sqrt{E{G}^2-E{M}^2}=\sqrt{(2\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{24-2}=\sqrt{22}$ 所以 $△EFG$ 的面积为： $S_{△EFG}=\frac{1}{2}\times EF\times GM=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{22}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$

3. 求距离 $h$： 由 $V_{B-EFG}=\frac{1}{3}\times S_{△EFG}\times h=\frac{8}{3}$，得： $\frac{1}{3}\times 2\sqrt{11}\times h=\frac{8}{3}⟹h=\frac{4}{\sqrt{11}}=\frac{4\sqrt{11}}{11}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何中空间点到平面距离的度量。
2. 核心方法：等体积变换法。无需做出实际的垂线段，利用 $V=\frac{1}{3}Sh$ 变换顶底关系直接求出距离。
3. 避坑指南：在求 $△EFG$ 的各边边长时，涉及多次平面与空间勾股定理的嵌套计算，必须细心推导（如通过 $CE$ 求 $EG$ ），系数或根号一旦算错，后续将无法得出正确答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的立体几何度量大题，取材于教材中关于“空间向量与坐标法”或“三棱锥体积性质”的拔高题型。
2. 结论推广：若本题采用空间直角坐标系法：以 $C$ 为原点， $CB$ 为 $x$ 轴， $CD$ 为 $y$ 轴， $CG$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。则各点坐标为 $C(0,0,0),B(4,0,0),A(4,4,0),D(0,4,0),G(0,0,2)$。由此可求出 $E(4,2,0),F(2,4,0)$。通过求平面 $EFG$ 的法向量 $\vec{n}$，利用点到平面距离公式 $h=\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ 同样可以高效准确地导出 $\frac{4\sqrt{11}}{11}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-27 解-直三棱柱的线线平行与点到直线的距离
• 1994-上海文-23 解-二面角与点到平面的距离
• 1992-上海-24 解-圆锥的体积与二面角