1994-全国卷文-23 解-正三棱柱中的平行与射影

本题导读

本题考查正三棱柱中的线面平行与射影。核心在于中位线构造平行证线面平行，以及三垂线定理求射影长。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 如图，已知 $A_1{B}_1{C}_1-ABC$ 是正三棱柱，$D$ 是 $AC$ 中点.

(1)证明：$A{B}_1\parallel$ 平面 $DB{C}_1$；

(2)假设 $A{B}_1\perp B{C}_1$，$BC=2$，求线段 $A{B}_1$ 在侧面 $B_{1}BC{C}_1$ 上的射影长.

🔍【思路分析】

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1. 连 $B_{1}C$ 交 $B{C}_1$ 于 $E$，连 $DE$，用中位线证 $DE\parallel A{B}_1$。
2. 作 $AF\perp BC$，$BF$ 即射影，用相似求其长。

✅【答案】

Success

(1) 见解析

(2) $\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)连接 $B_{1}C$ 交 $B{C}_1$ 于点 $E$。因为四边形 $B_{1}BC{C}_1$ 是矩形，所以 $E$ 是 $B_{1}C$ 的中点，即 $BE=EC$。连接 $DE$。在 $△A{B}_{1}C$ 中，$D$、$E$ 分别是 $AC$、$B_{1}C$ 的中点，所以 $DE\parallel A{B}_1$。又 $DE\subset$ 平面 $DB{C}_1$，$A{B}_1\not\subset$ 平面 $DB{C}_1$，所以 $A{B}_1\parallel$ 平面 $DB{C}_1$。 (2)作 $AF\perp BC$，垂足为 $F$。因为平面 $ABC\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$，且平面 $ABC\cap$ 平面 $B_{1}BC{C}_1=BC$，所以 $AF\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$。连接 $B_{1}F$，则 $B_{1}F$ 是 $A{B}_1$ 在平面 $B_{1}BC{C}_1$ 内的射影。因为 $A{B}_1\perp B{C}_1$，所以 $B_{1}F\perp B{C}_1$（三垂线定理的逆定理）。在矩形 $B_{1}BC{C}_1$ 中，$BC=2$，设 $B{B}_1=h$。由 $B_{1}F\perp B{C}_1$，在 $\mathrm{Rt}△B_{1}BF$ 与 $\mathrm{Rt}△B_{1}B{C}_1$ 中，可证 $△B_{1}BF\sim △B_{1}B{C}_1$。因为 $F$ 是正三角形 $ABC$ 边 $BC$ 的中点，$BF=1$，由相似得 $\frac{B{B}_1}{BF}=\frac{B_1{C}_1}{B{B}_1}$ 即 $B{B}_1^2=BF\cdot B_1{C}_1=1\times 2=2$，故 $B{B}_1=\sqrt{2}$，$B_{1}F=\sqrt{B{B}_1^2+B{F}^2}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$。所以 $A{B}_1$ 在侧面 $B_{1}BC{C}_1$ 上的射影长为 $\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱柱中的平行与射影

核心方法：(1) 连 $B_{1}C$ 交 $B{C}_1$ 于 $E$，$E$ 为 $B{C}_1$ 中点，连 $DE$，$DE\parallel A{B}_1$，故 $A{B}_1\parallel$ 面 $DB{C}_1$；(2) 作 $AF\perp BC$ 于 $F$，$BF$ 为 $A{B}_1$ 在侧面射影，由 $A{B}_1\perp B{C}_1$ 得 $BF\perp B{C}_1$，用相似得射影长 $\sqrt{3}$

避坑指南：中位线证平行 + 三垂线求射影

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材正三棱柱

结论推广：一般地，中位线证平行、三垂线求射影

方法推广：中位线证平行 + 三垂线求射影

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-23 解-正三棱柱中的垂直与体积
• 1995-全国卷文-24 解-圆柱中三棱锥的线面垂直与点面距离
• 1997-全国卷文-04 单-三棱锥中的二面角