1997-全国卷文-04 单-三棱锥中的二面角

本题导读

本题考查三棱锥中的二面角，以及由侧面与底面全等确定棱长。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 已知三棱锥 $D-ABC$ 的三个侧面与底面全等，且 $AB=AC=\sqrt{3}$，$BC=2$，则以 $BC$ 为棱，以面 $BCD$ 与面 $BCA$ 为面的二面角的大小是()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{2\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由三个侧面与底面全等确定各棱长。
2. 由棱长关系判断二面角。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由三个侧面与底面全等，得 $AD=BC=2$、$BD=CD=AB=AC=\sqrt{3}$。在 $△ABC$ 中 $AB=AC=\sqrt{3}$、$BC=2$，满足 $A{B}^2+A{C}^2=6>B{C}^2=4$。取 $BC$ 中点 $M$，由 $AB=AC$、$DB=DC$ 知 $AM\perp BC$、$DM\perp BC$，故二面角的平面角为 $\angle AMD$。由 $AD=2$、$AM=DM=\sqrt{2}$，得 $A{D}^2=A{M}^2+D{M}^2$，故 $\angle AMD=\frac{\pi }{2}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥中的二面角

核心方法：三侧面与底面全等且 $AB=AC=\sqrt{3},BC=2$，由 $AD=BC=2$ 且 $AD\perp$ 底面中满足勾股，二面角为 $\frac{\pi }{2}$，选 C

避坑指南：全等定棱长得直二面角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二面角的概念

结论推广：一般地，全等侧面可定各棱长

方法推广：全等定棱长得角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-21 解-正四面体二面角
• 2002-大纲文-19 解-四棱锥体积与二面角
• 2001-大纲文-18 解-四棱锥体积与二面角