1987-全国文-18 解-三棱锥的体积

本题导读

本题考查三棱锥体积的计算，核心在于利用线面垂直选底。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(文)） 如图，三棱锥 $P-ABC$ 中，已知 $PA\perp BC$，$PA=BC=L$，$PA$，$BC$ 的公垂线 $ED=h$.求证：三棱锥 $P-ABC$ 的体积 $V=\frac{1}{6}{L}^{2}h$.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $BC\perp$ 平面 $PAD$，把三棱锥拆成 $B-PAD$ 与 $C-PAD$ 两部分。

✅【答案】

Success

见解析

✍【详细解析】

Abstract

连结 $AD$、$PD$。由 $BC\perp PA$、$BC\perp ED$ 且 $PA$ 与 $ED$ 相交，得 $BC\perp$ 平面 $PAD$。又 $ED\perp PA$，故 $S_{△PAD}=\frac{1}{2}PA\cdot ED=\frac{1}{2}Lh$。于是 $V=V_{B-PAD}+V_{C-PAD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}Lh\cdot BD+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}Lh\cdot CD=\frac{1}{6}Lh(BD+CD)=\frac{1}{6}Lh\cdot BC=\frac{1}{6}{L}^{2}h$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥的体积

核心方法：$V=\frac{1}{3}{S}_{△PAD}\cdot BC$，其中 $S_{△PAD}=\frac{1}{2}PA\cdot ED=\frac{1}{2}Lh$。

避坑指南：利用 $PA\perp BC$、公垂线 $ED$，$BC\perp$ 平面 $PAD$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱锥体积的转化。

结论推广：三棱锥 $V=\frac{1}{3}{S}_{△PAD}\cdot BC$。

方法推广：选合适的底和高简化计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角
• 1989-全国文-21 解-平行六面体的射影与体积
• 1990-全国文-20 填-三棱柱的截面分体积